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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 36

Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Centro C ( 2 , - 3 ) , eixo real paralelo a O y e passando por ( 3 , - 1 ) e ( - 1,0 )

Passo 1

Opaaa! Tudo joia?

O problema nos deu o centro, dois pontos pertencentes à hipérbole e que o eixo é paralelo a O y .

Vamos pensar em como usar isso...

Olha os pontos:

Complicou né? Mas calma... vem comigo!

Passo 2

Como o eixo é paralelo ao eixo y , a equação é da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Usando o centro que o problema nos deu, ficamos com:

y + 3 2 a 2 - x - 2 2 b 2 = 1

A gente tem que achar esses a   e   b aí...

Pra isso, vamos usar os pontos que pertencem à hipérbole!

Passo 3

Substituindo os pontos 3 , - 1     e   ( - 1,0 ) na equação do passo 2, a gente vai ter:

- 1 + 3 2 a 2 - 3 - 2 2 b 2 = 1

4 a 2 - 1 b 2 = 1

4 b 2 - a 2 a 2 b 2 = 1

4 b 2 - a 2 = a 2 b 2       ( * )

o outro ponto...

0 + 3 2 a 2 - - 1 - 2 2 b 2 = 1

9 a 2 - 9 b 2 = 1

9 b 2 - 9 a 2 a 2 b 2 = 1

9 b 2 - 9 a 2 = a 2 b 2   ( * * )

Juntando ( * ) e ( * * ) , temos:

4 b 2 - a 2 = 9 b 2 - 9 a 2

Vish.... e agora?

Passo 4

Parece que não vai dar em nada ali né? Mas calma lá! Vamos colocar o b em função de a ...

4 b 2 - 9 b 2 = - 9 a 2 + a 2

- 5 b 2 =   - 8 a 2

b 2 = 8 5 a 2   ( * * * )

Com essa relação, a gente pode substituir em ( * ) :

4 8 5 a 2 - a 2 = a 2 8 5 a 2

32 5 a 2 - a 2 = 8 a 4 5

32 a 2 - 5 a 2 = 8 a 4

27 a 2 = 8 a 4

27 = 8 a 2

a 2 = 27 8

Show! Voltando esse valor em ( * * * ) achamos b 2 :

b 2 = 8 5 27 8

b 2 = 27 5

Ufaaa! Encontramos os termos da nossa equação! Ela é:

y + 3 2 27 / 8 - x - 2 2 27 / 5 = 1

Passo 5

A gente não pode deixar dessa forma de equação reduzida aqui, então vamos desenvolver pra achar a equação geral:

8 27 y + 3 2 - 5 27 x - 2 2 = 1

8 27 y 2 + 6 y + 9 - 5 27 x 2 - 4 x + 4 = 1

8 y 2 + 48 y + 72 - 5 x 2 + 20 x - 20 = 27

5 x 2 - 8 y 2 - 20 x - 48 y - 25 = 0

Prontinho! Finalmente chegamos à bendita da equação da hipérbole!

Passo 6

E por último, mas não menos importante, o esboço do gráfico da hipérbole:

Resposta

2 x 2 - 2 y 2 - 8 x - 10 y - 51 = 0

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