Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

29)   y 2 - 12 x - 12 = 0

Passo 1

Neste exercício, devemos determinar o vértice, o foco, a diretriz e uma equação para o eixo da parábola. Em seguida, esboçaremos o gráfico da função com o software Geogebra. A equação é: y 2 - 12 x - 12 = 0 .

Começaremos o exercício trabalhando com a equação e em seguida compararemos com as equações genéricas da parábola, e então encontraremos os valores desejados. Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Sabendo que as equações genéricas da parábola são do tipo x - h 2 = 2 p ( y - k ) para quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo y , ou então y - k 2 = 2 p ( x - h ) para quando o eixo da parábola é paralelo ao x , iremos reescrever a equação do exercício e comparar com as duas possibilidades:

y 2 - 12 x - 12 = 0

y 2 = 12 x + 12

y - 0 2 = 12 ( x + 1 )

Passo 3

Podemos observar que a equação reescrita no passo anterior é similar à equação da parábola com eixo paralelo ao eixo x . Por comparação com a equação genérica y - k 2 = 2 p ( x - h ) , obtemos:

h = - 1

k = 0

p = 6

Passo 4

Agora, o vértice é dado pelas coordenadas V = ( h ,   k ) . Assim, temos:

V = ( - 1 ,   0 )

Passo 5

Como a equação é paralela ao eixo x , devemos ter a coordenada de y do foco igual à coordenada y do vértice. Por outro lado, a coordenada x é encontrada somando p 2 a coordenada h do vértice, ou seja:

x F = h + p 2

x F = - 1 + 6 2

x F = 2

Portando, o foco é: F = ( 2 ,   0 ) .

Passo 6

A diretriz é encontrada subtraindo p da coordenada x do foco. A parábola possui eixo paralelo ao eixo x , logo, a diretriz deve ser do tipo x = h - p . Este valor será:

x = h - p

x = 2 - 6

x = - 4

Por fim, devemos encontrar a equação para o eixo da parábola dada. Como esta equação é paralelo ao eixo x (eu sei que já falei isso várias vezes), a equação deste eixo passa pela coordenada y do foco, logo, esta equação deverá ser:

y = 0

Passo 7

Com o auxílio do software Geogebra, plotamos o gráfico da função y - 0 2 = 12 x + 1 .

Resposta

V = - 1 ,   0 ,     F = 2 ,   0 ,     x = - 4 ,     y = 0

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