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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 101

Sejam P : y 2 = 4 p x   p > 0 e P = h ,   k . Prove que:

  1. Se P pertence à região focal da parábola, nenhuma reta que contém P é tangente a ela;
  2. Se P pertence à região côncava determinada pela parábola, existem duas retas tangentes a ela que contém P . Determine os vetores diretores dessas retas que têm segunda coordenada igual a 2 p .

Passo 1

Temos a parábola do tipo y 2 = 4 p x .

  1. Sabemos que P pertence à região focal da parábola, ou seja,

    2. k 2 < 4 p h ∴ k 2 - 4 p h < 0

    Seja

    x = m y + n

    uma reta passando por P . Assim, substituindo as coordenadas de P na equação da reta:

    h = m k + n ∴ n = h - m k

    Logo, a equação da reta fica escrita como:

    x = m y + h - m k

    Substituindo a relação acima na equação da parábola, temos

    y 2 = 4 p m y + h - m k ∴ y 2 - 4 p m y - 4 p h - m k = 0

    Para que a reta seja tangente à parábola, devemos ter Δ = 0 ; logo

    4 p m 2 + 4 ⋅ 4 p h - m k = 0 ∴ 16 p p m 2 + h - m k = 0 ⟹

    p m 2 - m k + h = 0

    Considerando a equação acima como uma equação do segundo grau em m , podemos calcular seu discriminante:

    Δ = k 2 - 4 p h

    Como vimos tal expressão é menor do que 0 , o que mostra que a equação não possui raiz real. Logo, não podemos encontrar nenhuma reta que passe por P e seja tangente à parábola.

    Passo 2

  2. Podemos usar os passos anteriores. O que muda é que P pertence à parte côncava. Logo, k 2 > 4 p h . Assim, para a equação

p m 2 - m k + h = 0

existem duas soluções (já que Δ = k 2 - 4 p h > 0 ).

Passo 2

Queremos ainda encontrar os vetores diretores das retas que possuem segunda coordenada igual a 2 p . Seja u → = n ,   2 p . Assim, a reta seria descrita como:

X = P + t u → = h ,   k + t n ,   2 p = h + t n ,   k + 2 t p ⟹ x = h + t n y = k + 2 t p

Vamos eliminar t das equações:

y = k + 2 t p ∴ t = y - k 2 p

x = h + t n = h + n y - k 2 p ⟹ x = n 2 p y + h - n k 2 p

Agora, note que essa é justamente a equação da reta x = m y + n que escrevemos anteriormente. Logo, ao compararmos as equações, segue que

m = n 2 p

Além disso, m é raiz da equação p m 2 - m k + h = 0 (que já sabemos possuir duas raízes). Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

m = k ± k 2 - 4 p h 2 p = n 2 p ⟹ n = k ± k 2 - 4 p h

Logo, há dois vetores diretores possíveis:

u → = k + k 2 - 4 p h ,   2 p   ;   u → = k - k 2 - 4 p h ,   2 p

Resposta

  1. Demonstração;
  2. u → = k ± k 2 - 4 p h ,   2 p .
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Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.26. y 2 + 4 y + 16 x - 44 = 0