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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 103

Mostre que, com exceção do eixo, toda reta normal a uma parábola é secante a ela.

Passo 1

Vamos escrever a equação da parábola como sendo y = k x 2 , onde k = 1 4 p . Escrevemos a equação dessa maneira apenas para facilitar a notação. Como fazemos para encontrar a reta normal? Inicialmente, podemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente em um ponto P genérico da parábola; depois encontramos o coeficiente angular da reta normal em P ; com o coeficiente angular da reta normal, conseguimos encontrar a equação da reta.

Passo 2

Seja P = a ,   k a 2 . Como y = k x 2 , segue que

y ' = 2 k x

Dessa forma, o coeficiente angular da reta tangente em P vale:

m = 2 k a

Sendo m ' o coeficiente angular da reta normal em P , temos:

m ' ⋅ m = - 1 ∴ m ' = - 1 2 k a

A equação da reta normal será:

y - y P = - 1 2 k a x - x P ∴ y - k a 2 = - 1 2 k a x - a

y = - 1 2 k a x + k a 2 + 1 2 k

Passo 3

Agora, basta encontrarmos a intersecção da reta encontrada acima com a parábola. Fazemos isso igualando as equações da reta e da parábola.

k x 2 = - 1 2 k a x + k a 2 + 1 2 k ∴ k x 2 + 1 2 k a x - k a 2 + 1 2 k = 0

Precisamos verificar se tal equação possui duas raízes reais. Note que a equação acima é do segundo grau. Logo, para verificar se há duas soluções, basta verificar se Δ > 0 :

Δ = 1 2 k a 2 + 4 k k a 2 + 1 2 k = 1 4 k 2 a 2 + 4 k 2 a 2 + 2 = 1 + 16 k 4 a 4 + 8 k 2 a 2 4 k 2 a 2

Δ = 4 k 2 a 2 + 1 2 4 k 2 a 2 = 4 k 2 a 2 + 1 2 k a 2

Note que Δ > 0 , já que é um quadrado de um número real não nulo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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