Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 113
Sejam o foco e a diretriz da parábola . Prove que:
- Os simétricos de em relação às retas tangentes à parábola pertencem a ;
- Se é um ponto da diretriz, a mediatriz do segmento é uma reta tangente a .
Conclua de (a) e () que o lugar geométrico dos pontos simétricos de em relação às retas tangentes a é a diretriz de .
Passo 1
Como , então temos uma parábola com eixo horizontal (eixo ). O foco será e a reta diretriz .
- Seja um ponto genérico da parábola. Assim,
- Seja . Assim, temos que o coeficiente angular da reta que liga e vale:
Vamos calcular a equação da reta tangente, , à parábola no ponto . Vamos fazer isso derivando! Como , podemos derivar implicitamente, para obter:
No ponto , temos:
Assim, a equação da reta tangente será:
Como , segue que
é a equação da reta tangente à elipse no ponto .
Passo 2
Como podemos obter o simétrico de em relação a ? Vamos proceder da seguinte maneira: de , traçamos uma reta, , perpendicular à . Tal reta terá coeficiente angular , pois o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a . Logo, a equação de será:
Com a equação de e em mãos, podemos ver onde tais retas se encontram:
Logo, as retas se encontram no ponto .
Agora, note que será o ponto médio entre e o simétrico . Dessa forma,
Isso demonstra que pertence à reta (que é a equação de ).
Passo 3
O ponto médio do segmento será
Assim, a reta mediatriz terá coeficiente angular e passará por ; sua equação será:
Para interceptar a parábola,
A última equação nos mostra que há apenas uma raiz (), de modo que a reta é tangente à parábola.
Passo 2
De (a), sabemos que os pontos simétricos de em relação às retas tangentes pertencem a ;
Por outro lado, de (b) sabemos que todo ponto de está associado a uma reta tangente.
Logo, todo cada ponto simétrico possui seu associado na reta .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)