Enunciado

Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

34)   6 y = x 2 - 8 x + 14

Passo 1

Neste exercício, devemos determinar o vértice, o foco, a diretriz e uma equação para o eixo da parábola. Em seguida, esboçaremos o gráfico da função com o software Geogebra. A equação é: 6 y = x 2 - 8 x + 14 .

Começaremos o exercício trabalhando com a equação e em seguida compararemos com as equações genéricas da parábola, e então encontraremos os valores desejados. Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Sabendo que as equações genéricas da parábola são do tipo x - h 2 = 2 p ( y - k ) para quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo y , ou então y - k 2 = 2 p ( x - h ) para quando o eixo da parábola é paralelo ao x , iremos reescrever a equação do exercício e comparar com as duas possibilidades:

6 y = x 2 - 8 x + 14

x 2 - 8 x + 14 + 2 = 6 y + 2

x - 4 2 = 6 y + 1 3

Passo 3

Podemos observar que a equação reescrita no passo anterior é similar à equação da parábola com eixo paralelo ao eixo y . Por comparação com a equação genérica x - h 2 = 2 p ( y - k ) , obtemos:

h = 4

k = - 1 3

p = 3

Passo 4

Agora, o vértice é dado pelas coordenadas V = ( h ,   k ) . Assim, temos:

V = 4 ,   - 1 3

Passo 5

Como a equação é paralela ao eixo y , devemos ter a coordenada de x do foco igual à coordenada x do vértice. Por outro lado, a coordenada y é encontrada somando p 2 a coordenada k do vértice, ou seja:

y F = k + p 2

y F = - 1 3 + 3 2

y F = 7 6

Portando, o foco é: F = ( 4 ,   7 6 ) .

Passo 6

A diretriz é encontrada subtraindo p da coordenada y do foco. A parábola possui eixo paralelo ao eixo y , logo, a diretriz deve ser do tipo y = k - p . Este valor será:

y = k - p

y = 7 6 - 3

y = - 11 6

Por fim, devemos encontrar a equação para o eixo da parábola dada. Como esta equação é paralelo ao eixo y (eu sei que já falei isso várias vezes), a equação deste eixo passa pela coordenada x do foco, logo, esta equação deverá ser:

x - 4 = 0

Passo 7

Com o auxílio do software Geogebra, plotamos o gráfico da função x - 2 2 = 6 y + 1 3 .

Resposta

V = 4 ,   - 1 3 ,     F = 4 ,   7 4 ,     y = - 11 6 ,     x - 4 = 0

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A reta t : y = 2 tangencia uma parábola de foco F = ( 1,1 ) e eixo s : y = x . Obtenha uma equação da diretriz, o parâmetro, o vértice e o ponto de tangência.
As retas s : y = x + 1 e t : y = 2 x + 1 / 2 são tangentes a uma parábola P , cuja diretriz é r : x = - 1 . Obtenha uma equação reduzida de P .
A reta t : y = 2 x + 4 tangencia a parábola P em um ponto de abscissa 2 , e r : x = - 8 é a diretriz de P . Obtenha uma equação reduzida da parábola.
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola P , de vértice ( 0,0 ) e o foco em um dos eixos coordenados, supondo que t seja tangente a P ( a ) t : y + 2 x + 1 = 0 ( b ) t : y = 3 x ( c ) t
Dada a parábola P : y 2 = 8 x , obtenha equações ( a ) da teta tangente a P no ponto ( 2 , - 4 ) ( b ) da reta tangente a P , paralela a s : y = 4 x ( c ) das retas que contém o ponto ( 2,5 ) e são ta