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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 100

Sejam P : y 2 = 4 p x p > 0 , u → = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , com 0 < θ < π , r uma reta paralela a u → e t a reta tangente a P e paralela a u → . Calcule, em função de p ,   θ , a distância δ do vértice da parábola à reta t . Em seguida, prove que:

  1. se d O , r < δ , então r é secante a P .
  2. Se d O , r > δ e r não intercepta o semieixo positivo das abscissas, então r ∩ P = ∅ .
  3. Se d O , r > δ e r intercepta o semieixo positivo das abscissas, então r é secante a P .

Passo 1

Vamos começar calculando a distância δ ! Suponha que a reta t seja tangente à P em um ponto h ,   k , tal que k 2 = 4 p h . O coeficiente angular da reta pode ser obtido derivando a expressão de P :

y 2 = 4 p x ∴ 2 y d y d x = 4 p ⟹ d y d x = 2 p y

Passo 2

Logo, a equação da reta será:

y - k = 2 p k x - h ∴ y = 2 p k x + k - 2 p h k

y = 2 p k x + k 2 - 2 p h k

Como 2 p h = k 2 / 2 , segue

y = 2 p k x + k 2

Passo 3

A reta acima deve ser paralela ao vetor u → . Dessa forma, como o vetor u → faz um ângulo θ com o eixo O x , segue que

tan ⁡ θ = 2 p k ⟹ k = 2 p tan ⁡ θ

Logo,

y = tan ⁡ θ x + p tan ⁡ θ ⟹ tan ⁡ θ x - y + p tan ⁡ θ = 0

Passo 4

A distância da reta até o vértice 0,0 da parábola será:

δ = 0 ⋅ tan ⁡ x + 0 ⋅ - 1 + p tan ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 = p cot ⁡ θ sec ⁡ θ = p cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ

Passo 5

Agora, para resolver os itens (a), (b) e (c), vamos tomar P = h ,   0 na reta r e vamos usar a Equação [22-23] do livro texto, com m = cos ⁡ θ e n = sin ⁡ θ :

Δ = 4 4 p 2 m 2 + 4 n 2 p h = 4 4 p 2 cos 2 ⁡ θ + 4 sin 2 ⁡ θ p h = 16 p p cos 2 ⁡ θ + h sin 2 ⁡ θ

Como r é uma reta paralela à u → , podemos escrever

y - k = tan ⁡ θ x - h ⟹ tan ⁡ θ x - y + k - h tan ⁡ θ = 0

A distância da origem até a reta r será:

d O ,   r = | k - h tan ⁡ θ | tan 2 ⁡ θ + 1 = cos ⁡ θ   k - h sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Tomando k = 0 ,

d O ,   r = h   sin ⁡ θ

Passo 6

    2. d O ,   r < δ ⟹ | h sin ⁡ θ |   < p cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ ∴ h sin 2 ⁡ θ < p cos 2 ⁡ θ

    Se h < 0 , então

    - h sin 2 ⁡ θ < p cos 2 ⁡ θ ⟹ p cos 2 ⁡ θ + h sin 2 ⁡ θ > 0

    Se h > 0 , então

    h sin 2 ⁡ θ < p cos 2 ⁡ θ ⟹ p cos 2 ⁡ θ + h sin 2 ⁡ θ > 2   h sin 2 ⁡ θ > 0 ∴ p cos 2 ⁡ θ + h sin 2 ⁡ θ > 0

    Em ambos os casos, vemos que Δ > 0 , o que mostra que a reta é secante.

    Passo 7

  2. Como r não intercepta o semieixo positivo O x , então h < 0 . Assim, na equação acima, ficamos com

    - h sin 2 ⁡ θ > p cos 2 ⁡ θ ⟹ p cos 2 ⁡ θ + h sin 2 ⁡ θ < 0

    De modo que Δ < 0 e a reta não intercepta a parábola.

    Passo 8

  3. A

Nesse caso, h > 0 . Assim, ficamos com

h sin 2 ⁡ θ ⏟ > 0 + p   cos 2 ⁡ θ ⏟ > 0 > 0

De modo que Δ > 0 e a reta é secante à parábola.

Resposta

A distância é p cos 2 ⁡ θ / sin ⁡ θ .

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