Dados os pontos distintos e e a reta , prove que uma condição necessária e suficiente para que seja tangente a alguma elipse de focos e é que esta reta não separe e .
Passo 1
Seja a elipse
A equação da reta tangente à elipse no ponto é:
Passo 2
Considere então a função:
Sabemos que a reta não separa dos pontos e quando
Passo 3
Notemos que
Passo 4
Logo,
Porém, notemos que:
- (pois e );
- (lembre-se que a elipse é limitada em , ).
Portanto, multiplicando essas desigualdades, segue que . Logo,
o que mostra que a reta tangente não deve, necessariamente, separar e .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)