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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 47

Prove que:

  1. Todo ponto do segmento focal de uma elipse é interior a ela;
  2. As duas retas assíntotas de uma hipérbole estão contidas na região côncava determinada por ela;
  3. Qualquer ponto interior a um dos eixos de uma elipse, com exceção dos vértices, é interior a ela;
  4. Se A 1 A 2 e B 1 B 2 são os eixos maior e menor de uma elipse, todo ponto do segmento A 2 B 2 , com exceção de A 2   e B 2 é interior a ela (vale resultado análogo A 1 B 2 , A 2 B 1 e A 1 B 1 )

Passo 1

Temos que fazer uma série de análises diferentes sobre pontos interiores a elipses e hipérboles.

Para toda a questão, vamos supor que as nossas figuras estão centradas na origem com focos em algum dos eixos coordenados. Isto irá facilitar a nossa análise.

Primeiro, vamos provar que todo ponto do segmento focal de uma elipse é interior a ela. Vamos supor que a nossa elipse é dada por:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Com focos no eixo O x F = ± c , 0 , sendo c = a 2 - b 2 . Tanto faz colocar o foco no eixo O x ou O y . O resultado aqui obtido é análogo ao outro eixo.

Bom, seja X = x , y um ponto pertencente ao segmento focal. Portanto, ele pertence ao segmento que tem coordenadas x , 0 , sendo - c ≤ x ≤ c . Assim, descrevemos todos os pontos deste segmento.

Agora, vamos substituir o ponto X na equação da elipse e ver o que acontece. Logo,

x 2 a 2 + 0 2 b 2 = 1

x 2 a 2 = 1

x 2 = a 2

E agora? Será se x 2 = a 2 ? Eu acho que não.... Por definição, a > c . Só que o valor de x varia de - c até c . E agora?

Acabamos de verificar que não existe uma igualdade. Então, X não pertence a elipse. Ou ele está dentro ou está fora dela. Basta checarmos o sinal da inequação para identificar isto.

Como - c ≤ x ≤ c e a > c , temos então a seguinte inequação verdadeira:

x 2 < a 2

Então,

x 2 a 2 < 1

E consequentemente, temos que X é um ponto interior a elipse!

Passo 2

Faremos agora um procedimento semelhante ao do passo anterior para provar que as assíntotas de uma hipérbole pertencem ao interior dela.

Vamos supor que a nossa hipérbole é dada por:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Com focos no eixo O x . Tanto faz colocar o foco no eixo O x ou O y . O resultado aqui obtido é análogo ao outro caso. Como a hipérbole está centrada na origem, as suas assíntotas são definidas por:

y = ± b a x

Então, um ponto X = x , y pertence as assíntotas se, e somente se, ele tiver coordenadas dadas por x , ± b a x . O valor de mais ou menos existe para conseguirmos descrever as duas assíntotas ao mesmo tempo.

Agora, vamos substituir esta relação do ponto X e observar o que acontece com a nossa equação, ou melhor, inequação. Portanto,

x 2 a 2 - b 2 a 2 ⋅ x 2 b 2 = 1

x 2 a 2 - x 2 a 2 = 1

0 = 1

Bom, aqui não há muito a ser discutido. Claramente, 0 não é igual a 1. A inequação que se adequa bem aqui é:

0 < 1

Portanto, temos que o ponto X = x , ± b a x é um ponto interior a hipérbole. Assim, provamos o que a questão nos pediu.

Passo 3

Agora, vamos provar que qualquer ponto pertencente a algum dos eixos de uma elipse, com exceção dos vértices, é interior a ela.

Vejam só, o procedimento aqui é bastante semelhante ao do passo 1. De fato, se assumirmos a seguinte elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Com focos no eixo O x , qualquer ponto pertencente ao eixo maior terá coordenadas X = x , 0 , sendo - a ≤ x ≤ a .

Para que a equação da elipse seja satisfeita, devemos ter x = ± a . Qualquer número diferente disto, teremos a seguinte inequação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 < 1

O que comprova que os pontos são interiores a elipse.

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos analisar a letra mais complicada. Sejam os vértices A 2 = a , 0 e B 2 = 0 , b . Vamos provar que qualquer ponto pertencente ao segmento A 2 B 2 , com exceção dos vértices, são pontos interiores a elipse.

Para podermos provar, vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente. Mas, aqui, temos um problema: como descrever os pontos pertencentes ao segmento A 2 B 2 ?

Eita! Para isto, vamos ter que escrever a equação de uma reta. Portanto, seja X = x , y ∈ A 2 B 2 , ele será dado por:

y - y 0 = Δ y Δ x x - x 0

Substituindo as coordenadas dos pontos, temos:

y - b = 0 - b a - 0 x - 0

y - b = - b a x

y = - b a x + b

Portanto, qualquer ponto X = x , y pertencente ao segmento A 2 B 2 tem coordenadas x , - b a x + b , sendo 0 ≤ x ≤ a . Muito importante esta última restrição.

Agora, vamos substituir as coordenadas deste ponto na equação da elipse. Portanto,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

x 2 a 2 + - b a x + b 2 b 2 = 1

x 2 a 2 + b 2 a 2 x 2 - 2 b 2 a x + b 2 b 2 = 1

b 2 x 2 + a 2 b 2 a 2 x 2 - 2 b 2 a x + b 2 a 2 b 2 = 1

b 2 x 2 + b 2 x 2 - 2 b 2 a x + a 2 b 2 a 2 b 2 = 1

2 b 2 x 2 - 2 b 2 a x + a 2 b 2 = a 2 b 2

2 b 2 x 2 - 2 b 2 a x = 0

2 b 2 x x - a = 0

Então, para que tenhamos uma igualdade e o ponto X pertença a elipse, devemos ter x = 0 ou x = a , o que nos dá os vértices.

Mas, se queremos ter pontos interiores, cuja inequação seria:

2 b 2 x x - a < 0

Ou, originalmente.

x 2 a 2 + y 2 b 2 < 1

Devemos ter pontos que satisfaçam a seguinte relação 0 < x < a . Consequentemente, Todos os pontos pertencentes ao segmento A 2 B 2 com exceção dos vértices são interiores a elipse!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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