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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 108

Seja T = h , k um ponto da elipse E de focos F 1 = - c , 0 e F 2 = c , 0 e parâmetros geométricos a e b e seja r a reta tangente a E em T .

  1. Prove que, se G é o ponto simétrico de F 2 em relação a r , então G ,   T e F 1 são colineares.
  2. Prove que d F 1 ,   G = 2 a .
  3. Sejam G ' um ponto da circunferência de centro F 1 e raio 2 a e T ' o ponto em que a reta F 1 G ' intercepta E . Prove que G ' é o ponto simétrico de F 2 em relação à reta tangente a E em T .
  4. Conclua que o lugar geométrico dos pontos simétricos de F 2 em relação às retas tangentes à elipse é a circunferência de centro F 1 e raio 2 a (circunferência diretora do foco F 1 ). Por simetria, o resultado permanece válido quando permutamos F 1 e F 2 .

Passo 1

Veja a figura abaixo

Passo 2

  1. Sendo G o ponto simétrico de F 2 em relação à reta tangente, então pela propriedade da reflexão, os triângulos T E F 2 e T G E serão congruentes. Sendo assim, o ângulo que a reta F 1 T faz com a reta tangente é o mesmo que T G faz com a reta tangente, demonstrando que F 1 , T e G são colineares.

    2. Passo 3

  2. Como vimos acima, Δ T F 2 E ≡ Δ T G E . Assim, T F 2 = T G . Porém, da propriedade fundamental da elipse, temos que

    3. F 1 T + F 2 T = 2 a ∴ F 1 T + T G = 2 a ⟹ d F 1 , G = 2 a

    Passo 4

  3. Veja a figura

    4. Se λ é a circunferência de centro F 1 e raio 2 a , temos que F 1 G ' = 2 a (já que G ' ∈ λ ).

    Sabemos que

    F 2 T ' + F 1 T ' = 2 a

    Agora, suponha que G ' ' seja o ponto simétrico de F 2 em relação à reta tangente. Vamos provar que G ' ' = G ' . Se G ' é o ponto simétrico, teremos que

    F 2 T ' = G ' ' T '

    Porém, temos que

    F 2 T ' + F 1 T ' = 2 a ∴ G ' ' T ' + F 1 T ' = 2 a ⟹ F 1 G ' ' = 2 a = F 1 G '

    o que mostra que G ' = G ' ' .

    Passo 5

  4. A conclusão é imediata do item (c).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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