Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 26

Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico.

Passo 1

Vamos começar fazendo uma análise do que o problema pede. O exercício que o esboço do gráfico, certo? Para isso precisamos encontrar e com eles montar o gráfico. Bora la?

Primeiro faremos uma análise da equação dada:

Juntando os termos em comum:

Podemos isolar termos, para isolar e temos que deixar um positivo e outro negativo :

Agora, podemos usar a regra para completar quadrados:

Então, podemos chamar e :

Retirando alguns dos termos de dentro da multiplicação:

Aplicando a propriedade distributiva:

Dividindo tudo por 36:

Simplificando:

Passo 2

Conseguimos chegar na seguinte equação:

Lembrando que a equação é dada por:

Isso significa que:

Com essas informações podemos calcular os demais termos, primeiro com :

Passo 3

Com isso, conseguimos determinar alguns pontos importantes. Se , então:

Sabemos também que:

Então:

Agora, podemos calcular os focos:

Por fim, calculamos as coordenadas :

E excentricidade:

Passo 4

Com todas as coordenadas calculadas, podemos esboçar um gráfico. Dica: colocamos dentro de um gráfico os eixos e . Depois acrescentamos as coordenadas e o centro . Cruzaremos assíntotas com centro e entre as assíntotas teremos nosso esboço: