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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 27

Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico.

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 11 3 = 0

Passo 1

Vamos começar fazendo uma análise do que o problema pede. O exercício que o esboço do gráfico, certo? Para isso precisamos encontrar a ,   b ,   c   A 1 , A 2 , C , F 1 , F 2 ,   B 1 ,   B 2 e com eles montar o gráfico. Bora la?

Primeiro faremos uma análise da equação dada:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

Juntando os termos em comum:

9 x 2 - 54 x - 4 y 2 + 8 y = - 113

Podemos isolar termos, para isolar x   e y temos que deixar um positivo e outro negativo :

9 x 2 - 6 x - 4 y 2 - 2 y = - 11 3

Agora, podemos usar a regra para completar quadrados:

a ± b 2 = a 2 ± 2 a b + b 2

Então, podemos chamar 6 2 = b x e 2 2 = b y :

9 x 2 - 6 x + 3 2 - 3 2 - 4 y 2 - 2 y + 1 2 - 1 2 = - 11 3

Retirando alguns dos termos de dentro da multiplicação:

9 x 2 - 6 x + 9 - 81 - 4 y 2 - 2 y + 1 + 4 = - 113

Aplicando a propriedade distributiva:

9 x - 3 2 - 81 - 4 y - 1 2 + 4 = - 11 3

9 x - 3 2 - 4 y - 1 2 = - 113 + 81 - 4

9 x - 3 2 - 4 y - 1 2 = - 36

Dividindo tudo por -36:

9 x - 3 2 - 36 - 4 y - 1 2 - 36 = - 36 - 36

Simplificando:

- x - 3 2 4 + y - 1 2 9 = 1

Passo 2

Conseguimos chegar na seguinte equação:

- x - 3 2 4 + y - 1 2 9 = 1

Reorganizando:

y - 1 2 9 - x - 3 2 4 = 1

Lembrando que a equação é dada por:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Isso significa que:

h = 3

k = 1

a 2 = 9

a = 3

b 2 = 4

b = 2

Com essas informações podemos calcular os demais termos, primeiro com c :

c 2 = b 2 + a 2

c 2 = 4 + 9

c 2 = 13

c = 13

Passo 3

Com isso, conseguimos determinar alguns pontos importantes. Se C ( h , k ) , então:

C = ( 3 , 1 )

Sabemos também que:

A 1 = ( h , k - a )

A 2 = ( h , k + a )

Então:

A 1 = 3 , 1 - 3 = ( 3 , - 2 )

A 2 = 3 , 1 + 3 = ( 3,4 )

Agora, podemos calcular os focos:

F 1 = h , k - c = ( 3,1 - 13 )

F 2 = h , k + c = ( 3,1 + 13 )

Por fim, calculamos as coordenadas B :

B 1 = h - b , k = 1 , 1

B 2 = h + b , k = 5 , 1

e = c a = 13 3

Passo 4

Com todas as coordenadas calculadas, podemos esboçar um gráfico. Dica: colocamos dentro de um gráfico os eixos x e y . Depois acrescentamos as coordenadas A 1 , A 2 , B 2 , B 2 e o centro C . Cruzaremos assíntotas com centro C e entre as assíntotas teremos nosso esboço:

Resposta

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