Enunciado

Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico.

9 x 2 - y 2 + 36 x + 6 y + 63 = 0

Passo 1

Vamos começar fazendo uma análise do que o problema pede. O exercício que o esboço do gráfico, certo? Para isso precisamos encontrar a ,   b ,   c   A 1 , A 2 , C , F 1 , F 2 ,   B 1 ,   B 2 e com eles montar o gráfico. Bora la?

Primeiro faremos uma análise da equação dada:

9 x 2 - y 2 + 36 x + 6 y + 63 = 0

Juntando os termos em comum:

9 x 2 + 36 x - y 2 + 6 y = - 63

Podemos isolar termos, para isolar x   e y temos que deixar um positivo e outro negativo :

9 x 2 + 4 x - y 2 - 6 y = - 63

Agora, podemos usar a regra para completar quadrados:

a ± b 2 = a 2 ± 2 a b + b 2

Então, podemos chamar 4 2 = b x e 6 2 = b y :

9 x 2 + 4 x + 2 2 - 2 2 - y 2 - 6 y + 3 2 - 3 2 = - 63

Retirando alguns dos termos de dentro da multiplicação:

9 x 2 + 4 x + 2 2 - 9.4 - y 2 - 6 y + 3 2 + 3 2 = - 63

Aplicando a propriedade distributiva:

9 x + 2 2 - y - 3 2 - 36 + 9 = - 6 3

9 x + 2 2 - y - 3 2 = - 6 3 + 36 - 9

9 x + 2 2 - y - 3 2 = - 36

Dividindo tudo por -36:

9 x + 2 2 - 36 - y - 3 2 - 36 = - 36 - 36

Simplificando:

- x + 2 2 4 + y - 3 2 36 = 1

Passo 2

Conseguimos chegar na seguinte equação:

- x + 2 2 4 + y - 3 2 36 = 1

Reorganizando:

y - 3 2 36 - x + 2 2 4 = 1

Lembrando que a equação é dada por:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Isso significa que:

h = - 2

k = 3

a 2 = 36

a = 6

b 2 = 4

b = 2

Com essas informações podemos calcular os demais termos, primeiro com c :

c 2 = b 2 + a 2

c 2 = 36 + 4

c 2 = 40

c = 40 = 2 10

Passo 3

Com isso, conseguimos determinar alguns pontos importantes. Se C ( h , k ) , então:

C = ( - 2 , 3 )

Sabemos também que:

A 1 = ( h , k - a )

A 2 = ( h , k + a )

Então:

A 1 = - 2 , 3 - 6 = ( - 2 , - 3 )

A 2 = - 2 , 3 + 6 = ( - 2 , 9 )

Agora, podemos calcular os focos:

F 1 = h , k - c = ( - 2 , 3 - 2 10 )

F 2 = h , k + c = ( - 2 , 3 + 2 10 )

Por fim, calculamos as coordenadas B :

B 1 = h - b , k = - 4 , 3

B 2 = h + b , k = 0 , 3

e = c a = 2 10 6 = 10 3

Passo 4

Com todas as coordenadas calculadas, podemos esboçar um gráfico. Dica: colocamos dentro de um gráfico os eixos x e y . Depois acrescentamos as coordenadas A 1 , A 2 , B 2 , B 2 e o centro C . Cruzaremos assíntotas com centro C e entre as assíntotas teremos nosso esboço:

Resposta

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Quais são os pontos da hipérbole em que a reta normal contém a o centro? b um foco?
Uma partícula desloca-se ao longe de um ramo da hipérbole H : x 2 p + y 2 q = 1 com velocidade, em cada ponto p = h , k , igual ao vetor tangente t → = p k , - q h nesse ponto. Obtenha os valores máxi
Obtenha equações das retas tangentes à hipérbole H :- 4 x 2 + 2 y 2 = 3 que são paralelas à reta de equação 6 x - 3 y = 0 .
Obtenha uma equação reduzida da hipérbole de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados, excentricidade 2, e contém o ponto 2 , 7 .
Calcule a medida angular entre as retas tangentes à hipérbole de equação x 2 - 2 y 2 = 2 nos pontos P = 2 , - 1eQ = 2,0 .