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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 45

Obtenha uma equação reduzida da hipérbole de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados, excentricidade 2, e contém o ponto 2 , 7 .

Passo 1

Devemos nos lembrar que uma hipérbole com centro na origem O pode ser descrita pelas seguintes equações (a depender de é uma hipérbole vertical ou horizontal):

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1             o u         - x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1       i

Pois bem, além disso temos que a excentricidade de uma hipérbole é dada por

e = c a

Agora, podemos partir pra resolução. Começando pela excentricidade podemos traçar uma relação entre as variáveis c e a que será

2 = c a → c = 2 a

Pegando uma imagem de uma hipérbole podemos definir quem é c em função de b e a

Usando Pitágoras temos que

c 2 = a 2 + b 2 → 2 a 2 = a 2 + b 2 → 3 a 2 = b 2         i i

Passo 2

Utilizando as equações em i e o ponto ao qual a nossa hipérbole contém, vamos encontrar as possibilidades de equações para nossa hipérbole. Sendo assim, utilizando o ponto dado na primeira equação de i vamos encontrar

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 →   2 2 a 2 - 7 2 b 2 = 1 → 4 a 2 - 7 b 2 = 1

De i i temos b 2 = 3 a 2 substituindo na equação acima vamos encontrar

4 a 2 - 7 3 a 2 = 1

Multiplicando toda a equação por a 2 vamos obter

4 - 7 3 = a 2 → a 2 = 5 3

O que implica que

b 2 = 5

Então, nossa hipérbole pode ser descrita por

x 2 5 3 - y 2 5 = 1

Passo 3

Repetindo o mesmo processo para a segunda equação de i vamos encontrar

- x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 →   - 4 b 2 + 7 a 2 = 1 →   - 4 3 a 2 + 7 a 2 = 1

- 4 3 + 7 = a 2 → a 2 = 17 3 → b 2 = 17

Então nossa hipérbole fica sendo

- x 2 17 + y 2 17 3 = 1

Resposta

x 2 5 3 - y 2 5 = 1           e - x 2 17 + y 2 17 3 = 1

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