Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Parábola - Ex. 30
Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.
30.
Passo 1
A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o ou o que está elevado ao quadrado. Como aqui é o que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo . E a equação reduzida vai ter a cara:
Sendo:
Onde são as coordenadas do Vértice.
Passo 2
Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem de um lado só e o resto do outro lado.
E precisamos completar o quadrado.
SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do e dividir por 2:
E daí fazemos:
Repare que “ já tem lá... Então vamos somar 1, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:
Podemos reescrever como:
Passo 3
- A equação reduzida, então vai ser:
E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:
- O vértice fica:
Vamos já achar o ...
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o é positivo (então a parábola vai ter concavidade pra direita). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...
Reparei que como temos , então à esquerda do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e à direita do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:
- O foco:
- A equação da diretriz:
- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):