Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 44
44. Um arco parabólico tem uma altura de 20 m e uma largura de 36 m na base. Se o vértice da parábola estiver no topo do arco, a que altura acima da base ele terá 18 m de largura?
Passo 1
Primeiro para resolver essa questão vamos escolher os eixos de forma a facilitar nossa vida. O eixo x no mesmo nível da base e o eixo y no meio do arco.
Assim cada ponta do arco está a 18 m do eixo y e o ponto mais alto do arco está a 20 m do eixo x.
Agora para achar o que o enunciado pede teremos que achar a equação da parábola formada pelo arco.
Com essa configuração e com a informação do enunciado sobre o ponto mais alto do arco, temos que o vértice da parábola formada pelo arco é:
Passo 2
Como a parte mais alta do arco está longe do chão isso mostra que a parábola tem concavidade para baixo, assim sua e equação é do tipo:
Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.
Passo 3
Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.
O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y, logo:
Assim nossa equação já toma a seguinte forma:
Passo 4
Para encontrarmos o valor de p, vamos usar o fato de já conhecermos um ponto da parábola, que é o ponto onde a extremidade do arco toca o chão. Jogando os valores desse ponto na equação que temos, iremos descobrir o p.
O ponto onde o arco toca o chão (nosso eixo x) temos como coordenadas (18, 0), substituindo na nossa equação:
Passo 5
Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:
Passo 6
Agora para encontrar a que altura do chão a largura seria de 18 m, precisamos lembrar que como dividimos nosso arco ao meio com eixo y, para saber a altura que causa a largura de 18 m precisamos avaliar o ponto que dista 9 m do eixo y, porque somando 9de um lado com 9 do outro, obtemos 18 m.
Assim:
Resposta
Então a 15 m da base a largura será 18 m.