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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 47

47. Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do vértice ao foco é 3 m. Se o diâmetro na superfície do espelho for 64 cm, qual a profundidade do espelho no centro?

Passo 1

Para começar vamos estabelecer boas posições para os eixos para facilitar nossa vida. Vamos fazer com que o y fique no meio do espelho e o eixo x passando pela base do espelho, assim nosso vértice ficaria na posição:

V = 0,0

Passo 2

Com essas condições a equação da parábola da nossa situação tem mais ou menos a seguinte cara:

x - h 2 = 4 p y - k

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice. O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y.

E o valor p o enunciado já deu que é 3 m, mas passando para centímetros, já que a outra informação que ele nos deu também está em centímetros, temos:

p = 300  

Passo 3

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

x - h 2 = 4 p y - k

x - 0 2 = 4 ⋅ 300 ( y - 0 )

x 2 = 1200 y

Passo 4

Agora para encontrar o que o enunciado pede. Precisamos lembrar que dividimos nossa parábola ao meio pelo eixo y, assim ficamos com 32 cm para um lado e para o outro.

Agora para saber a profundidade do espelho (a altura do espelho), basta jogar essa informação em nossa equação e isolar o y, obtendo assim a profundidade.

x 2 = 1200 y

32 2 = 1200 y

y = 1024 1200 = 64 75

Resposta

A profundidade do espelho no centro é de:

64 75 c m

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Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico. 28 .4 x 2 - 8 x + 3 y - 2 = 0
Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.39. Vértice em - 4 ,2 ; eixo y = 2 ; passa pelo ponto 0 ,6 .
Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.40. Os extremos do latus rectum são ( 1 ,3 ) e ( 7 ,3 ) .
Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.37. Vértice em ( 3 ,- 2 ) ; eixo x = 3 ; comprimento do latus rectum é 6.
50. Se uma parábola tiver seu foco na origem e o eixo x como eixo, prove que ela deve ter uma equação da forma y 2 = 4 k x + 4 k 2 ,k ≠ 0 .