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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 38

Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.

9 x 2 - 4 y 2 - 18 x - 16 y - 43 = 0

Passo 1

E aí, tudo joinha?

Bora resolver mais essa?

Seguinte, nos deram essa equação geral:

9 x 2 - 4 y 2 - 18 x - 16 y - 43 = 0

E nos pediram a equação reduzida dela, que é de uma dessas formas aqui:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

o u

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos lá então...

Passo 2

A gente tem que completar os quadrados na equação, então é o seguinte:

9 x 2 - 2 x - 4 y 2 + 4 y = 43

9 x 2 - 2 x + 1 ⏟ - 1 - 4 y 2 + 4 y 2 + 4 ⏟ - 4 = 43

9 x - 1 2 - 9 - 4 y + 2 2 + 16 = 43

9 x - 1 2 - 4 y + 2 2 = 43 - 16 + 9

9 x - 1 2 - 4 y + 2 2 = 36

E pra ficar da forma da hipérbole:

x - 1 2 4 - y + 2 2 9 = 1

Prontinho! Chegamos à equação reduzida da hipérbole!

Passo 3

Agora a gente tem que achar os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas...

Bom, pela equação ali a gente tira que a = 2 ,   b = 3 e podemos achar o c utilizando a relação:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 4 + 9

c = 13

Vemos também que a nossa hipérbole tem eixo real paralelo ao eixo x (a parte que tá positiva), então os vértices são determinados andando a unidades em x a partir do centro.

Aliás, o centro ali é C = ( 1 , - 2 ) , certinho?

Passo 4

Vamos continuar então...

Os vértices são:

A 1 - 1 , - 2     e     A 2 ( 3 , - 2 )

Pra achar os focos a gente anda c   unidades a partir do centro:

F 1 1 - 13 ,   - 2     e       F 2 ( 1 + 13 ,   - 2 )

E excentricidade é e = c a , então:

e = 13 2

Falta achar as assíntotas, pra isso, a gente pode pegar nossa equação reduzida e igualar a zero:

x - 1 2 4 - y + 2 2 9 = 0

Aí aqui a gente vai desenvolver e deixar y em função de x , se liga só:

9 x - 1 2 - 4 y + 2 2 36 = 0

9 x - 1 2 - 4 y + 2 2 = 0

4 y + 2 2 = 9 x - 1 2

y + 2 2 = 9 4 x - 1 2

y + 2 = ± 9 4 x - 1 2

y = ± 3 2 x - 1 - 2

As assíntotas então são:

y = 3 2 x - 3 2 - 2 → 2 y = 3 x - 7 → 3 x - 2 y - 7 = 0

y = - 3 2 x + 3 2 - 2 → 2 y = - 3 x - 1 → 3 x + 2 y + 1 = 0

Ufaaa! Todos os elementos da hipérbole foram encontrados! 😉

Passo 5

E pra encerrar com chave de ouro, o esboço do gráfico:

Resposta

Equação reduzida:   x - 1 2 4 - y + 2 2 9 = 1

Centro: ( 1 , - 2 )

Vértices: A 1 - 1 , - 2     e     A 2 ( 3 , - 2 )  

Focos: F 1 1 - 13 ,   - 2     e       F 2 ( 1 + 13 ,   - 2 )  

Excentricidade:   e = 13 2  

Assíntotas: 3 x - 2 y - 7 = 0     e     3 x + 2 y + 1 = 0    

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