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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 39

Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.

x 2 - 4 y 2 + 6 x + 24 y - 31 = 0

Passo 1

E aí, tudo joinha?

Bora resolver mais essa?

Seguinte, nos deram essa equação geral:

x 2 - 4 y 2 + 6 x + 24 y - 31 = 0

E nos pediram a equação reduzida dela, que é de uma dessas formas aqui:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

o u

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Onde ( h , k ) é o centro, beleza?

Vamos lá então...

Passo 2

A gente tem que completar os quadrados na equação, então é o seguinte:

x 2 + 6 x - 4 y 2 - 6 y = 31

x 2 + 6 x + 9 ⏟ - 9 - 4 y 2 - 6 x + 9 ⏟ - 9 = 31

x + 3 2 - 9 - 4 y - 3 2 + 36 = 31

x + 3 2 - 4 y - 3 2 = 31 + 9 - 36

x + 3 2 - 4 y - 3 2 = 4

x + 3 4 - y - 3 2 1 = 1

Prontinho! Chegamos à equação reduzida da hipérbole!

Passo 3

Agora a gente tem que achar os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas...

Bom, pela equação ali a gente tira que a = 2 ,   b = 1 e podemos achar o c utilizando a relação:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 4 + 1

c = 5

Vemos também que a nossa hipérbole tem eixo real paralelo ao eixo x (a parte que tá positiva), então os vértices são determinados andando a unidades em x a partir do centro.

Aliás, o centro ali é C = ( - 3,3 ) , certinho?

Passo 4

Vamos continuar então...

Os vértices são:

A 1 - 5 ,   3     e     A 2 ( - 1 , 3 )

Pra achar os focos a gente anda c   unidades a partir do centro:

F 1 - 3 - 5 ,   3     e       F 2 ( - 3 + 5 ,   3 )

E excentricidade é e = c a , então:

e = 5 2

Falta achar as assíntotas, pra isso, a gente pode pegar nossa equação reduzida e igualar a zero:

x + 3 2 4 - y - 3 2 1 = 0

Aí aqui a gente vai desenvolver essa expressão:

x + 3 2 4 - 4 y - 3 2 4 = 0

x + 3 2 = 4 y - 3 2

x + 3 =   ± 4 y - 3 2

x + 3 =   ± 2 ( y - 3 )

Então as assíntotas são:

x + 3 = 2 y - 6 → x - 2 y + 9 = 0

x + 3 =   - 2 y + 6 → x + 2 y - 3 = 0

Ufaaa! Todos os elementos da hipérbole foram encontrados! 😉

Passo 5

E pra encerrar com chave de ouro, o esboço do gráfico:

Resposta

Equação reduzida:   x + 3 4 - y - 3 2 1 = 1

Centro: ( - 3,3 )

Vértices: A 1 - 5 ,   3     e     A 2 ( - 1,3 )  

Focos:   F 1 - 3 - 5 ,   3     e       F 2 ( - 3 + 5 ,   3 )

Excentricidade:   e = 5 2  

Assíntotas: x - 2 y + 9 = 0     e     x + 2 y - 3 = 0    

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