Enunciado

Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértices A 1 - 3 , - 4     e     A 2 ( - 3,4 ) e que seja hipérbole equilátera.

Passo 1

Opaaa! Tudo joia?

Bom, a questão nos deu os vértices A 1     e     A 2 e nos disse que a hipérbole é equilátera.

Lembra de triângulo equilátero? Ele tinha os lados iguais, certo? Aqui é a mesma coisa, hipérbole equilátera quer dizer que ela tem os eixos do mesmo tamanho.

Vamos ver um esboço desses vértices?

Já deu pra imaginar como vai ser a hipérbole?

Olha, o centro vai ser ali na direção dos pontos, no meio deles, o ponto ( - 3,0 ) .

E o eixo dela vai ser paralelo ao eixo y !

Passo 2

Continuando, como já dissemos que ela é equilátera, os eixos tem o mesmo tamanho, então se a , que é a distância do centro ao vértice A 1   o u   A 2 mede a = 4 , temos que b = 4 também.

Como o eixo é paralelo ao eixo y , ela vai ter essa forma aqui:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Montando a nossa, temos:

y - 0 2 4 2 - x + 3 2 4 2 = 1

y 2 16 - x + 3 2 16 = 1

Passo 3

Pra deixar a equação da forma geral, a gente desenvolve esses quadrados aí e vamos ter:

y 2 - ( x 2 + 6 x + 9 ) 16 = 1

y 2 - x 2 - 6 x - 9 = 16

y 2 - x 2 - 6 x - 25 = 0

x 2 + 6 x - y 2 + 25 = 0

Prontinho! Essa é a equação da hipérbole!

Passo 4

Falta fazer o esboço bonitinho, pra isso a gente tem que achar os focos.

Vamos usar a relação:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 16 + 16

c 2 = 32

c = 32

Os focos então são:

F 1 - 3 ,   - 32     e     F 2 - 3 ,   32

Aí o esboço da hipérbole é:

Resposta

x 2 + 6 x - y 2 + 25 = 0

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