Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 42
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
E aí, tudo joinha?
Bora resolver mais essa?
Seguinte, nos deram essa equação geral:
E nos pediram a equação reduzida dela, que é de uma dessas formas aqui:
Onde é o centro, beleza?
Vamos lá então...
Passo 2
A gente tem que completar os quadrados na equação, então é o seguinte:
Prontinho! Chegamos à equação reduzida da hipérbole!
Passo 3
Agora a gente tem que achar os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas...
Bom, pela equação ali a gente tira que e podemos achar o utilizando a relação:
Vemos também que a nossa hipérbole tem eixo real paralelo ao eixo (a parte que tá positiva), então os vértices são determinados andando unidades em a partir do centro.
Aliás, o centro ali é , certinho?
Passo 4
Vamos continuar então...
Os vértices são:
Pra achar os focos a gente anda unidades a partir do centro:
E excentricidade é , então:
Falta achar as assíntotas, pra isso, a gente pode pegar nossa equação reduzida e igualar a zero:
Aí aqui a gente vai desenvolver essa expressão:
Então nossas assíntotas são:
As assíntotas então são:
Ufaaa! Todos os elementos da hipérbole foram encontrados! 😉
Passo 5
E pra encerrar com chave de ouro, o esboço do gráfico:
Resposta
Equação reduzida:
Centro:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas: e