Enunciado

Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.

16 x 2 - 9 y 2 - 64 x - 18 y + 199 = 0

Passo 1

E aí, tudo joinha?

Bora resolver mais essa?

Seguinte, nos deram essa equação geral:

16 x 2 - 9 y 2 - 64 x - 18 y + 199 = 0

E nos pediram a equação reduzida dela, que é de uma dessas formas aqui:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

o u

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Onde ( h , k ) é o centro, beleza?

Vamos lá então...

Passo 2

A gente tem que completar os quadrados na equação, então é o seguinte:

16 x 2 - 4 x - 9 y 2 + 2 y = - 199

16 x 2 - 4 x + 4 ⏟ - 4 - 9 y 2 + 2 y + 1 ⏟ - 1 = - 199

16 x - 2 2 - 64 - 9 y + 1 2 + 9 = - 199

16 x - 2 2 - 9 y + 1 2 = - 144

y + 1 2 16 - x - 2 2 9 = 1

Prontinho! Chegamos à equação reduzida da hipérbole!

Passo 3

Agora a gente tem que achar os centros, os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas...

Bom, pela equação ali a gente tira que a = 4 ,   b = 3 e podemos achar o c utilizando a relação:

c 2 = 16 + 9

c 2 = 25

c = 5

Vemos também que a nossa hipérbole tem eixo real paralelo ao eixo y (a parte que tá positiva), então os vértices são determinados andando a unidades em y a partir do centro.

Aliás, o centro ali é C = ( 2 , - 1 ) , certinho?

Passo 4

Vamos continuar então...

Os vértices são:

A 1 2 , - 5     e     A 2 ( 2,3 )

Pra achar os focos a gente anda c   unidades a partir do centro:

F 1 2 , - 6     e       F 2 ( 2,4 )

E excentricidade é e = c a , então:

e = 5 4

Falta achar as assíntotas, pra isso, a gente pode pegar nossa equação reduzida e igualar a zero:

y + 1 2 16 - x - 2 2 9 = 0

Aí aqui a gente vai desenvolver essa expressão:

Então nossas assíntotas são:

9 y + 1 2 144 - 16 x - 2 2 144 = 0

9 y + 1 2 = 16 x - 2 2

y + 1 2 = 16 9 x - 2 2

y + 1 =   ± 16 9 x - 2 2

y + 1 = ± 4 3 ( x - 2 )

As assíntotas então são:

y + 1 = 4 3 x - 2 → 4 x - 3 y - 11 = 0

y + 1 = - 4 3 x - 2 → 4 x + 3 y - 5 = 0

Ufaaa! Todos os elementos da hipérbole foram encontrados! 😉

Passo 5

E pra encerrar com chave de ouro, o esboço do gráfico:

Resposta

Equação reduzida:   y + 1 2 16 - x - 2 2 9 = 1

Centro: ( 2 , - 1 )

Vértices:   A 1 2 , - 5     e     A 2 ( 2,3 )

Focos:   F 1 2 , - 6     e       F 2 ( 2,4 )

Excentricidade:   e = 5 4

Assíntotas: 4 x - 3 y - 11 = 0 e 4 x + 3 y - 5 = 0

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