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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 19d

Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule a distância focal e as medidas do eixo transverso e conjugado. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.

  1. 9 x 2 - 4 y 2 = 36
  2. 9 x 2 25 - y 2 + 9 = 0
  3. x 2 + 2 y 2 = 1
  4. - m 2 x 2 + 9 y 2 = 36 ,   m > 0
  5. 25 x 2 - 100 y 2 = 0
  6. 5 x 2 - 9 y 2 - 45 = 0
  7. x 2 - y 2 + 1 = 0
  8. x sen ⁡ φ 2 - y cos ⁡ φ 2 + 1 = 0   ( 0 < φ < π / 2 )  

Passo 1

Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Se os valores p e q tiverem sinais trocados, teremos uma hipérbole.

Os focos estarão no eixo relativo à variável positiva (denominador positivo). Por exemplo, se tivermos p > 0 e q < 0 , os focos estarão em O x e não em O y .

Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma hipérbole. Caso contrário, não temos uma hipérbole.

Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,

- m 2 x 2 + 9 y 2 = 36

- m 2 x 2 + 9 y 2 36 = 36 36

x 2 36 - m 2 + y 2 36 9 = 1

x 2 - 36 m 2 + y 2 4 = 1

Pronto, como m > 0 , p = - 36 m 2 < 0 e q = 4 > 0 , temos sim uma hipérbole! Em especial, como q > 0 , os focos estão localizados no eixo O y .

Passo 2

Agora, iremos determinar os outros parâmetros pedidos pela questão. Mas, antes disto, vamos determinar os parâmetros geométricos da hipérbole.

Logo,

a = - p = 36 m 2 = 6 m

b = q = 4 = 2

c = a 2 + b 2 = 36 m 2 + 4 = 2 m 2 + 9 m

Agora sim podemos calcular o que a questão nos pede.

A distância focal tem comprimento 2 c . Portanto, 4 m 2 + 9 m .

Para uma hipérbole com focos no eixo O y , o eixo transverso tem comprimento 2 b . Portanto, 4 . Já o eixo conjugado tem comprimento 2 a . Logo, 1 2 / m .

Neste caso, fica difícil esboçar uma hipérbole, pois o seu formato depende do valor escolhido de m.

Resposta

Os focos estão no eixo O y .

A distância focal tem comprimento 4 m 2 + 9 m . O eixo transverso tem comprimento 4 e o eixo conjugado tem comprimento 1 2 / m .

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Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( - 2 , 1 ) , eixo real paralelo a 0 x , passando por ( 0 , 2 ) e ( - 5,6 ) .
Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações: x 2 - y 2 - 8 x - 4 y + 11 = 0
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico. 4 x 2 - y 2 - 32 x + 4 y + 24 = 0
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico. 16 x 2 - 9 y 2 - 64 x - 18 y + 199 = 0
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico. x 2 - 4 y 2 + 6 x + 24 y - 31 = 0