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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 19c

Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule a distância focal e as medidas do eixo transverso e conjugado. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.

  1. 9 x 2 - 4 y 2 = 36
  2. 9 x 2 25 - y 2 + 9 = 0
  3. x 2 + 2 y 2 = 1
  4. - m 2 x 2 + 9 y 2 = 36 ,   m > 0
  5. 25 x 2 - 100 y 2 = 0
  6. 5 x 2 - 9 y 2 - 45 = 0
  7. x 2 - y 2 + 1 = 0
  8. x sen ⁡ φ 2 - y cos ⁡ φ 2 + 1 = 0   ( 0 < φ < π / 2 )  

Passo 1

Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Se os valores p e q tiverem sinais trocados, teremos uma hipérbole.

Os focos estarão no eixo relativo à variável positiva (denominador positivo). Por exemplo, se tivermos p > 0 e q < 0 , os focos estarão em O x e não em O y .

Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma hipérbole. Caso contrário, não temos uma hipérbole.

Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,

x 2 + 2 y 2 = 1

x 2 1 + y 2 1 / 2 = 1

Pronto, como p = 1 > 0 e q = 1 2 > 0 , não temos uma hipérbole. Novamente, foquem que p e q possuem o mesmo sinal. Em especial, temos uma elipse.

Resposta

Não temos uma hipérbole. Em especial, temos uma elipse.

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Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Focos em ( 3,4 ) e F ( 3 , - 2 ) , excentricidade e = 2 .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( 0,0 ) , eixo real sobre O y , b = 8 e excentricidade e = 5 3 .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices A 1 ( - 3 , - 4 ) e A 2 ( - 3,4 ) , hipérbole equilátera.
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices A ( ± 4,0 ) , passando por P ( 8,2 ) .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Vértices A ( ± 3 , 0 ) , equações das assíntotas y = ± 2 x .