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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 32

Calcular os ângulos diretores do vetor vec v = (6 , - 2,3) .

Passo 1

Ângulos diretores de vec v são os ângulos alpha , beta e gamma que vec v forma com os vetores vec i , vec j e vec k , respectivamente.

Para calcular eles vamos usar as seguintes fórmulas:

cos alpha = (vec v * vec i)/(|vec v| |vec i|)

cos beta = (vec v * vec j)/(|vec v| |vec j|)

cos gamma = (vec v * vec k)/(|vec v| |vec k|)

Vamos calcular os produtos vetoriais e os módulos separadamente, e depois voltamos as fórmulas, vamos lá!!

Passo 2

Primeiro vamos calcular os produtos vetoriais, lembrando que produto escalar de dois vetores vec u = (x_1 , y_1 , z_1) e vec v = (x_2 , y_2 , z_2) , representado por vec u * vec v , é o número real encontrado pela seguinte soma:

vec u * vec v = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

Vamos aplicar agora na nossa questão:

vec v * vec i = (6 , - 2,3) * (1,0 , 0) = 6 * 1 + (- 2) * 0 + 3 * 0 = 6 - 0 + 0 = 6

vec v * vec j = (6 , - 2,3) * (0,1 , 0) = 6 * 0 + (- 2) * 1 + 3 * 0 = 0 - 2 + 0 = - 2

vec v * vec k = (6 , - 2,3) * (0,0 , 1) = 6 * 0 + (- 2) * 0 + 3 * 1 = 0 - 0 + 3 = 3

Passo 3

Agora vamos encontrar os módulos dos vetores, para calcular o módulo de um vetor vec u = (x , y , z) vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

|vec u| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula para calcular os módulos:

|vec v| = sqrt(6^2 + (- 2)^2 + 3^2) = sqrt(36 + 4 + 9) = sqrt(49) = 7

|vec i| = sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = sqrt(1) = 1

|vec j| = sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(1) = 1

|vec k| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(1) = 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir nas fórmulas do passo 1 e encontramos os ângulos diretores:

cos alpha = (vec v * vec i)/(|vec v| |vec i|) = (6)/(7 * 1) = (6)/(7) -> alpha = arccos ((6)/(7)) = 31 ° 0^'

cos beta = (vec v * vec j)/(|vec v| |vec j|) = (- 2)/(7 * 1) = (- 2)/(7) -> beta = arccos ((- 2)/(7)) = 106 ° 36^'

cos gamma = (vec v * vec k)/(|vec v| |vec k|) = (3)/(7 * 1) = (3)/(7) -> gamma = arccos ((3)/(7)) = 64 ° 37^'

Resposta

alpha = 31 ° 0^' , beta = 106 ° 36^' e gamma = 64 ° 37^'

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