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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 57c

Calcular a área do triângulo de vértices

c) A (2 , 3 , - 1) , B = (3 , 1 , - 2) e C ( - 1 , 0 , 2 )

Passo 1

a) A (2 , 3 , - 1) , B = (3 , 1 , - 2) e C ( - 1 , 0 , 2 )

Nosso desafio agora é calcular a área do triângulo de vértices A (2 , 3 , - 1) , B = (3 , 1 , - 2) e C ( - 1 , 0 , 2 ) . Vamos lá?

Passo 2

A área do triângulo é dada pela fórmula |(vec A B xx vec A C)/(2)| , certo?

Precisamos primeiro então, achar os nossos vetores vec A B e vec A C :

vec A B = B - A = (3 , 1 , - 2) - (2 , 3 , - 1) = (1 , - 2 , 1)

vec A C = C - A = (- 1 , 0 , 2) - ( 2 , 3 , - 1 ) = ( - 3 , - 3 , 3 )

Passo 3

Agora, fazendo o produto vetorial, temos:

vec A B xx vec A C = |[[vec i,vec j,vec k],[1,-,2,1],[-,3,-,3,3]]| = - 6 vec i + 3 vec j - 3 vec k - (3 vec j + 3 vec i + 6 vec k) = - 9 vec i - 9 vec k = ( - 9 , 0 , - 9 )

Passo 4

Por fim, calculando o módulo e dividindo por 2, temos:

|vec A B xx vec A C| = sqrt(- (9)^2 + (- 9)^2) = sqrt(162) = 9 sqrt(2)

Á r e a d o t r i â n g u l o = (|vec A B xx vec A C|)/(2) = (9 sqrt(2))/(2) u . a .

Resposta

(9 sqrt(2))/(2) u . a .

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Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a a = - 1 , - 2,2 , b = 3,3 , 4
Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.) a = 3 , 4 , b = 5 , 12
Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a a = 4 , 2 , 0 , b = 1 , 1 , 1
Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a a = i + k , b = i - j
Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.) a = 6 , - 3 , 2 , b = 2 , 1 , - 2