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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 38

Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a

a = - 1 , - 2,2 ,     b = 3,3 , 4

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição do vetor projeção. Relembrando, temos:

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

Logo, precisamos calcular a norma do vetor a , obter o produto interno entre os vetores a e b e substituir na fórmula acima!

Com isto, obteremos o vetor projeção. Já o valor da projeção escalar será obtido ao obtermos o módulo deste vetor. Portanto, vamos aos cálculos!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo do vetor a . Desta forma,

a = - 1 2 + - 2 2 + 2 2

a = 9 = 3

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = - 1 , - 2,2 ⋅ 3,3 , 4

a ⋅ b = - 1 ⋅ 3 + - 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4

a ⋅ b = - 3 - 6 + 8 = - 1

Passo 3

Agora que obtemos todas as informações necessárias, vamos determinar o vetor projeção de b em a . Para isto, vamos substituir os valores encontrados na fórmula do Passo 1. Logo,

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

p r o j a b = - 1 3 2 ⋅ - 1 , - 2 , 2

p r o j a b = - 1 9 ⋅ - 1 , - 2 , 2 = 1 9 , 2 9 , - 2 9

Passo 4

Pronto! Agora que obtivemos o vetor projeção, vamos calcular a sua norma!

c o m p a b = p r o j a b = 1 9 2 + 2 9 2 + - 2 9 2

c o m p a b = 9 81 = 1 3

Resposta

p r o j a b = 1 9 , 2 9 , - 2 9

c o m p a b = 1 3

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