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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 15

Determine o ângulo entre os vetores. (Estabeleça inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até o grau mais próximo.)

a = 3 , 4 ,     b = 5 , 12

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição de um produto interno. Relembrando, temos:

a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = a ⋅ b a ⋅ b

θ = arccos ⁡ a ⋅ b a ⋅ b

Logo, precisamos calcular a norma de cada um dos vetores e o produto interno entre eles. Somente após isto, poderemos calcular o valor do ângulo!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo de cada um dos vetores. Desta forma,

a = 3 2 + 4 2

a = 25 = 5

Já para o vetor b , temos:

b = 5 2 + 12 2

b = 169 = 13

Passo 3

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 3 , 4 ⋅ 5 , 12

a ⋅ b = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 12

a ⋅ b = 15 + 48 = 63

Passo 4

Pronto, chegamos ao final da questão! Só nos basta agora substituirmos os valores encontrados ao longo dos Passos para obtermos o valor do ângulo θ . Sendo assim, temos:

θ = arccos ⁡ 63 5 ⋅ 13 = arccos ⁡ 63 65

θ ≈ 14,3 °

Resposta

θ = arccos ⁡ 63 65 ≈ 14,3 °

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