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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 11b

Calcular a distância entre os planos paralelos:

b) π 1 : x - 2 z + 1 = 0 e π 2 : 3 x - 6 z - 8 = 0

Passo 1

Vamos começar encontrando um ponto de um dos planos pode ser? Porque aí depois é só calcularmos a distância entre esse ponto e o outro plano hehe :)

Vamos escolher um ponto do plano π 1 pode ser? Para isso, vamos arbitrar valores. Nesse plano, se tivermos x = 0 , por exemplo, aí teremos

0 - 2 z + 1 = 0

2 z = 1

z = 1 2

Como o y não está na nossa equação, então qualquer valor dele vai satisfazer ok? Hahaha então vamos colocar y = 1 .

Então o ponto 0 ,   1 , 1 2 pertence a esse plano :P Agora é só calcularmos a distância desse ponto até o plano π 2 .

Passo 2

A distância entre um ponto P ' = ( x ,   y ,   z ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d P ' , π ' = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso, temos P = 0 ,   1 , 1 2 e o plano π 2 : 3 x - 6 z - 8 = 0

Então temos o seguinte

d π 1 ,   π 2 = d P , π 2 = 3.0 + 0.1 - 6.1 2 - 8 3 2 + 0 2 + ( - 6 ) ²

d π 1 ,   π 2 = - 11 9 + 36

Então

d π 1 ,   π 2 = 11 45

Resposta

d π 1 ,   π 2 = 11 45

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Mostre que a distância entre dois planos paralelos π 1 : a x + b y + c z + d 1 = 0eπ 2 : a x + b y + c z + d 2 = 0 é d i s t π 1 , π 2 = d 2 - d 1 a 2 + b 2 + c 2 .
b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π , os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2.
c) Determine a área da face do tetraedro contida no plano π .
Ache equações paramétricas da reta r ' , simétrica da reta r : x - 1 = y = z em relação ao plano x + y - z - 3= 0 .