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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 23

Calcular a distância do ponto P ( 4 ,   3 ,   3 ) à reta que passa por A ( 1 ,   2 , - 1 ) e B ( 3 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

Seja d a distância de P até a reta que passa pelos pontos A e B , pode-se observar que os vetores A B → e A P → formam um paralelogramo e d é a altura relativa à base A B → . Sendo assim, temos que:

d = A B → × A P → A B →

Sendo P 4 ,   3 ,   3 ,   A ( 1 ,   2 , - 1 ) e B ( 3 ,   1,1 ) , temos que:

A B → = B - A = 3,1 ,   1 - 1 ,   2 , - 1 = 2 , - 1 ,   2

A P → = P - A = 4 ,   3 ,   3 - 1 ,   2 , - 1 = ( 3 ,   1 ,   4 )

Calculando o módulo do produto vetorial entre os vetores, obtemos:

A B → × A P → = i → j → k → 2 - 1 2 3 1 4 = - 4 i → + 6 j → + 2 k → - 2 i → + 8 j → - 3 k → = - 6 i → - 2 j → + 5 k →

A B → × A P → = - 6 2 + - 2 2 + 5 2 = 65

Passo 2

Como d = A B → × A P → A B → , temos que:

A B → = 2 2 + - 1 2 + 2 2 = 9 = 3

d = A B → × A P → A B → = 65 3

Portanto, a distância do ponto P ( 4 ,   3 ,   3 ) à reta que passa por A ( 1 ,   2 , - 1 ) e B ( 3 ,   1 ,   1 ) é 65 3 . 😉

Resposta

65 3

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