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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 1c

Calcular s g n (sigma) nos seguintes casos:

  1. ([[1,2,3,4],[4,3,2,1]])
  2. ([[1,2,3,4],[2,1,4,3]])
  3. ([[1,2,3,4,5],[2,3,4,5,1]])
  4. ([[1,2,3,4,5,6],[4,5,6,1,2,3]])

Passo 1

Vamos lá!

Precisamos calcular o sinal da permutação, s g n (sigma) . Este sinal só pode assumir dois valores:

s g n (sigma) = {[[1 , s e sigma é p a r],[- 1 , s e sigma é í m p a r]])

Então, a chave está exatamente neste sigma que tem aparecido tanto. Mas quem é ele?

Bom, para sabermos quem é esse sigma , vamos precisar trabalhar com a matriz dada na questão. Ele será o número de permutações necessárias para que coloquemos a segunda linha da nossa matriz na ordem {1,2 , 3,4 , 5} , a qual corresponde a primeira linha.

Então, de uma forma prática, precisamos verificar o número de trocas necessários para que a segunda linha se iguale a primeira linha.

Passo 2

Então, vamos as contas. Relembrando, temos a seguinte matriz:

([[1,2,3,4,5],[2,3,4,5,1]])

Vamos trocar de posição os números 1 e 2. Com isto,

([[1,2,3,4,5],[1,3,4,5,2]])

Agora, vamos fazer a nossa segunda troca. Trocaremos de posição os números 2 e 3. Portanto,

([[1,2,3,4,5],[1,2,4,5,3]])

Para a nossa terceira troca, vamos trocar de posição os números 4 e 5. Portanto,

([[1,2,3,4,5],[1,2,3,5,4]])

Para finalizarmos, trocaremos os números 5 e 4. Logo,

([[1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5]])

E ambas as linhas estão iguais. Foram necessárias apenas 4 trocas. Portanto, sigma = 4 . E consequentemente, s g n (sigma) = 1 , finalizando assim a nossa questão.

Resposta

s g n (sigma) = 1

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Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H
Para as matrizes do exerc��cio anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .
Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .