Calcular s g n (sigma) nos seguintes casos:([[1,2,3,4],[4,3,2,1]]) ([[1,2,3,4],[2,1,4,3]]) ([[1,2,3,4,5],[2,3,4,5,1]]) ([[1,2,3,4,5,6],[4,5,6,1,2,3]])

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 1c

Calcular nos seguintes casos:

Passo 1

Vamos lá!

Precisamos calcular o sinal da permutação, . Este sinal só pode assumir dois valores:

Então, a chave está exatamente neste que tem aparecido tanto. Mas quem é ele?

Bom, para sabermos quem é esse , vamos precisar trabalhar com a matriz dada na questão. Ele será o número de permutações necessárias para que coloquemos a segunda linha da nossa matriz na ordem , a qual corresponde a primeira linha.

Então, de uma forma prática, precisamos verificar o número de trocas necessários para que a segunda linha se iguale a primeira linha.

Passo 2

Então, vamos as contas. Relembrando, temos a seguinte matriz:

Vamos trocar de posição os números 1 e 2. Com isto,

Agora, vamos fazer a nossa segunda troca. Trocaremos de posição os números 2 e 3. Portanto,

Para a nossa terceira troca, vamos trocar de posição os números 4 e 5. Portanto,

Para finalizarmos, trocaremos os números 5 e 4. Logo,

E ambas as linhas estão iguais. Foram necessárias apenas 4 trocas. Portanto, . E consequentemente, , finalizando assim a nossa questão.

Resposta

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Calcular, se existir, a matriz inversa de A (usando sua adjunta) e use essa inversa para resolver A X = B nos seguintes casos: A = 1 1 2 3 B = 1 4 A = 1 2 1 1 0 1 2 1 0 B = 3 1 2 A = 1 1 2 0 0 2 0 1 0

Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde

Seja H : V - V a hometetia H_lambda (v) = lambda v , AA v in V . Calcular det (H)

Para as matrizes do exerc��cio anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .

Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .