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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 1d

Calcular s g n (sigma) nos seguintes casos:

  1. ([[1,2,3,4],[4,3,2,1]])
  2. ([[1,2,3,4],[2,1,4,3]])
  3. ([[1,2,3,4,5],[2,3,4,5,1]])
  4. ([[1,2,3,4,5,6],[4,5,6,1,2,3]])

Passo 1

Vamos lá!

Precisamos calcular o sinal da permutação, s g n (sigma) . Este sinal só pode assumir dois valores:

s g n (sigma) = {[[1 , s e sigma é p a r],[- 1 , s e sigma é í m p a r]])

Então, a chave está exatamente neste sigma que tem aparecido tanto. Mas quem é ele?

Bom, para sabermos quem é esse sigma , vamos precisar trabalhar com a matriz dada na questão. Ele será o número de permutações necessárias para que coloquemos a segunda linha da nossa matriz na ordem {1,2 , 3,4 , 5 , 6} , a qual corresponde a primeira linha.

Então, de uma forma prática, precisamos verificar o número de trocas necessários para que a segunda linha se iguale a primeira linha.

Passo 2

Então, vamos as contas. Relembrando, temos a seguinte matriz:

([[1,2,3,4,5,6],[4,5,6,1,2,3]])

Vamos trocar de posição os números 1 e 4. Com isto,

([[1,2,3,4,5,6],[1,5,6,4,2,3]])

Agora, vamos fazer a nossa segunda troca. Trocaremos de posição os números 5 e 2. Portanto,

([[1,2,3,4,5,6],[1,2,6,4,5,3]])

Para a nossa terceira troca, vamos trocar de posição os números 6 e 3. Portanto,

([[1,2,3,4,5,6],[1,2,3,4,5,6]])

E ambas as linhas estão iguais. Foram necessárias apenas 3 trocas. Portanto, sigma = 3 . E consequentemente, s g n (sigma) = - 1 , finalizando assim a nossa questão.

Resposta

s g n (sigma) = - 1

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