Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.7 - Ex. 2

Seja a hometetia , . Calcular

Passo 1

Precisamos calcular o determinante da matriz da transformação .

Mas, fica um pequeno problema: vamos calcular o determinante de que matriz?

Nosso primeiro trabalho então é determinar a matriz da transformação.

Então, seja uma base do espaço . Para montarmos a matriz da transformação, vamos ter que aplicar a transformação a cada um dos vetores da base e depois escrever o resultado da transformação como combinação linear da base .

Passo 2

Vamos começar as nossas contas pelo primeiro vetor da base , . Então, temos:

Então, , . Para o segundo vetor da base,

Então, , . E assim por diante. Se fizermos para o último vetor da base, temos:

Então, , . Como vocês podem ter percebido, os únicos elementos não nulos da nossa matriz de transformação são os elementos da diagonal principal, os quais são iguais a .

Portanto, a nossa matriz de transformação é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte mais difícil!!!! Só que não. Temos que calcular o determinante da matriz . Como ela é uma matriz diagonal, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal.

Portanto,