Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.7 - Ex. 2
Seja a hometetia , . Calcular
Passo 1
Precisamos calcular o determinante da matriz da transformação .
Mas, fica um pequeno problema: vamos calcular o determinante de que matriz?
Nosso primeiro trabalho então é determinar a matriz da transformação.
Então, seja uma base do espaço . Para montarmos a matriz da transformação, vamos ter que aplicar a transformação a cada um dos vetores da base e depois escrever o resultado da transformação como combinação linear da base .
Passo 2
Vamos começar as nossas contas pelo primeiro vetor da base , . Então, temos:
Então, , . Para o segundo vetor da base,
Então, , . E assim por diante. Se fizermos para o último vetor da base, temos:
Então, , . Como vocês podem ter percebido, os únicos elementos não nulos da nossa matriz de transformação são os elementos da diagonal principal, os quais são iguais a .
Portanto, a nossa matriz de transformação é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte mais difícil!!!! Só que não. Temos que calcular o determinante da matriz . Como ela é uma matriz diagonal, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal.
Portanto,
Como temos linhas, temos vezes . Portanto,
E assim finalizamos a questão!