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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas Propostos - Ex. 23a

23. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas

  1. r : y = 2 x + 3 z = 3 x - 1 e s : x - 1 2 = y - 1 = z m
  2. r : x = - 1 y = - 3 e s : y = 4 x - m z = x
  3. r : x - m m = y - 4 - 3 ; z = 6 e s :   y = - 3 x + 4 z = - 2 x

Passo 1

(a) Primeiro vamos ver se elas podem ser paralelas... vamos achar a direção das retas:

A primeira reta já está bonitinha na forma reduzida, então:

v r = 1,2 , 3

A segunda só precisamos colocar em função de x...

x - 1 2 = y - 1

y = - 1 2 x + 1 2

x - 1 2 = z m

z = m x 2 - m 2

Então:

v s = 1 , - m 2 , m 2

E não podem ser paralelas, pois:

1 1 ≠ 2 - 1 2

Passo 2

Então elas vão ser concorrentes, ou seja, vão ter um ponto de interseção. Ou seja, deve existir um ponto P   =   ( a ,   b ,   c ) tal que:

b = 2 a + 3 c = 3 a - 1 a - 1 2 = b - 1 = c m

Substituindo b   e c na terceira equação, ficamos com:

a - 1 2 = 2 a + 3 - 1 = 3 a - 1 m

Considerando a primeira parte dessa equação, temos

a - 1 2 = 2 a + 3 - 1 ⇒ a - 1 = - 4 a - 6 ⇒ a = - 1

Considerando agora a última parte dessa equação, já substituindo a   =   - 1 , temos que:

2 a + 3 - 1 = - 3 - 1 m ⇒ m = 4

Resposta

m = 4

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