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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas propostos - Ex. 11

Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v 1 → = 0 , - 1,2 ,   v 2 → = - 4,2 , - 1   e     v 3 → = ( 3 , m , - 2 ) seja igual a 33 . Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por v 1 →     e     v 2 → .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do paralelepípedo é calculado pelo módulo do produto misto entre os vetores.

Vamos começar por aí então, sendo que queremos achar m para que o volume seja 33...

Passo 2

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 0 - 1 2 - 4 2 - 1 3 m - 2 = 0 2 - 1 m - 2 + 1 - 4 - 1 3 - 2 + 2 - 4 2 3 m

= 0 + 1 8 + 3 + 2 ( - 4 m - 6 )

= 11 - 8 m - 12

=   - 8 m - 1

A gente quer que o volume seja 33 então...

- 8 m - 1 = 33

Daí temos duas possibilidades:

- 8 m - 1 = 33 → - 8 m = 34 → m = - 34 8 =   - 17 4

- 8 m - 1 = - 33 →   - 8 m = - 32 → m = 4

Prontinho! Esses são os valores de m para que o volume seja 33 .

Passo 3

Vamos para a segunda parte do problema...

A gente quer achar a altura agora.

Bom, a fórmula do volume do paralelepípedo é:

V = á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

O volume a gente já tem, então se a gente achar a área da base, a gente acha a altura!

Como a área é formada por u →   e   v → , temos que a área é o módulo do produto entre esses vetores... vamos lá então:

d e t i → j → k → 0 - 1 2 - 4 2 - 1 = i → - 1 2 2 - 1 - j → 0 2 - 4 - 1 + k → 0 - 1 - 4 2

= i → 1 - 4 - j →   0 + 8 + k → ( 4 )

= - 3 i → - 8 j → + 4 k →

A área da base é o módulo desse vetor:

A = - 3 2 + ( - 8 ) 2 + 4 2 = 89

Passo 4

Voltando pra relação do volume agora, temos:

V = á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

33 = 89 × a l t u r a

a l t u r a = 33 89  

Prontinho! Encerramos por aqui😉

Resposta

m = 4   o u   m = - 17 4

h = 33 89

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Os vetores u → ,v →ew → são dois a dois ortogonais e formam uma base positiva. Sabendo que u → = 2 ,v → = 3ew → = 4 , calcule u → ,v → ,w → .
Prove: [vec a , vec a + vec b , vec a + vec b + vec c] = [vec a , vec b , vec c] .