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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 13

Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a vec u = ( 3 , 2 , 2 ) e a vec v = ( 0 , 1 , 1 ) .

Passo 1

Neste problema, sabendo os vetores vec u = ( 3 , 2 , 2 ) e vec v = ( 0 , 1 , 1 ) , precisamos determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a vec u e vec v , certo?

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Primeiro, antes de colocarmos a mão na massa, vamos relembrar o que são vetores ortogonais?

Direto ao ponto: quando realizados o produto escalar entre dois vetores e ele dá 0, dizemos que esses vetores são ortogonais! No nosso problema, queremos um vetor que seja simultaneamente ortogonal a outros dois, para isso, vamos utilizar o produto vetorial, vem comigo.

Passo 3

Dados os vetores vec u = ( 3 , 2 , 2 ) e vec v = ( 0 , 1 , 1 ) . A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a vec u e vec v . Depois, nós transformamos esse carinha em um vetor unitário, e por último multiplicamos por 2, porque queremos um vetor de módulo 2, beleza?

Guardem isso no coração! Podemos encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a outros dois, através do produto vetorial entre eles. Trazendo para o nosso problema, vamos encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a vec u e vec v através do produto vetorial entre eles. Temos, então:

vec u xx vec v = |[[vec i,vec j,vec k],[3,2,2],[0,1,1]]| = (2 vec i + 3 vec k) - (2 vec i + 3 vec j) = ( 0 vec i - 3 vec j + 3 vec k )

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor unitário de vec u xx vec v utilizando a seguinte fórmula:

(vec u xx vec v)/(|vec u xx vec v|)

O produto vetorial entre vec u e vec v nós já temos, basta calcularmos |vec u xx vec v| e substituir na fórmula, certo?

Calculando |vec u xx vec v| , temos:

|vec u xx vec v| = sqrt(0^2 + (- 3)^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3 sqrt(2)

Por fim, para encerrarmos com chave de ouro, substituindo na fórmula, obtemos:

(vec u xx vec v)/(|vec u xx vec v|) = (0 vec i - 3 vec j + 3 vec k)/(3 sqrt(2))

(vec u xx vec v)/(|vec u xx vec v|) = (0 vec i)/(3 sqrt(2)) - (3 vec j)/(3 sqrt(2)) + (3 vec k)/(3 sqrt(2))

Ao simplificarmos e racionalizarmos os denominadores, temos:

(vec u xx vec v)/(|vec u xx vec v|) = 0 vec i - (sqrt(2) vec j)/(2) + (sqrt(2) vec k)/(2)

Portanto, o vetor unitário simultaneamente ortogonal à vec u e vec v é (0 , - (sqrt(2))/(2) , (sqrt(2))/(2)) ou o oposto a ele (0 , (sqrt(2))/(2) , - (sqrt(2))/(2)) .

Passo 5

Para obter um vetor de módulo 2 que seja simultaneamente ortogonal a vec u e vec v , basta multiplicar por 2 o vetor unitário encontrado e o seu oposto:

2 . (0 , - (sqrt(2))/(2) , (sqrt(2))/(2)) = (0 , - sqrt(2) , sqrt(2))

2 . (0 , (sqrt(2))/(2) , - (sqrt(2))/(2)) = (0 , sqrt(2) , - sqrt(2))

Portanto, o vetor será (0 , - sqrt(2) , sqrt(2)) ou (0 , sqrt(2) , - sqrt(2)) . 😉

Resposta

(0 , - sqrt(2) , sqrt(2)) o u (0 , sqrt(2) , - sqrt(2))

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