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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas propostos - Ex. 15

Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,   B 2,4 , 0 ,   C 0,3 , 0 e   P ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do tetraedro é 1 6 do volume do paralelepípedo, ou seja:

V t = 1 6   A B → ,   A C → ,   A P →

Vamos começar calculando os vetores...

Passo 2

A B → = ( 0 , 4,0 )

A C → = ( - 2,3 , 0 )

A P → = ( 0 , - 2,9 )

Beleza! O próximo passo é faze o produto misto...

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 0 4 0 - 2 3 0 0 - 2 9 = 0 3 0 - 2 9 - 4 - 2 0 0 9 + 0 2 3 0 - 2

= 0 27 - 0 - 4 - 18 - 0 + 0

= 72

O volume do tetraedro então é:

V = 1 6 72 = 12   u . v

Prontinho! O volume já foi!

Passo 4

Agora vamos para a outra parte do problema: Descobrir a altura relativa ao vértice...

Olha só, a altura do tetraedro é a mesma altura do paralelepípedo gerado por esses vetores. Sendo assim, podemos usar a relação do volume do paralelepípedo:

V = á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

A área da base é o módulo do produto vetorial entre A B →   e   A C → . Então vamos lá...

Passo 5

d e t i → j → k → 0 4 0 - 2 3 0 = i → 4 0 3 0 - j → 0 0 - 2 0 + k → 0 4 - 2 3

= i → 0 - j → 0 + 8 k →

O módulo então é 8 , ou seja, a área da base é 8 .

Vamos voltar agora na fórmula do volume e achar a tão procurada altura...

V = á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

(a gente vai usar o volume do paralelepípedo tá?)

72 = 8 × a l t u r a

a l t u r a = 9

Agora, finalmente, acabamos! 😉

Resposta

V = 12   u . v

h = 9   u . c

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