Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 60
Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados.
Passo 1
Nós temos um plano e dentro desse plano temos pontos que interceptam os eixos cartesianos e um ponto que intercepta a origem, e formam juntos um tetraedro:
Vamos começar com o ponto que toca o eixo , isso significa que já que o ponto não toca esses eixos e aplicando na função do plano, teremos:
O ponto pode ser dado por .
Passo 2
Agora, podemos calcular o ponto que toca o eixo , onde :
O ponto pode ser dado por
E por fim, calcularemos o ponto que toca o eixo , onde :
O ponto pode ser dado por .
E o último ponto chamaremos de e é dado por .
Passo 3
O volume pode ser calculado como o módulo do produto misto de 3 vetores , e tudo isso dividido por 6 (Essa é uma fórmula que temos no livro)
Então, precisamos encontrar três vetores para fazer o produto vetorial misto, encontrar o módulo desse produto vetorial e dividir por seis. Bora lá?
Uma forma de encontrar três vetores desse problema é usar os segmentos de reta, ou seja, a distância em que cada ponto tem do outro. Pensa assim, temos um tetraedro e com isso temos quatro pontos, qual a distância entre eles?
Vamos pegar a distância entr cada ponto e a origem, chamaremos de vetores e , e pode ser dado por:
Com esses três vetores, podemos montar o produto vetorial misto entre eles:
Colocamos a resposta como que significa unidades de volume.