Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3 x + 2 y - 4 z - 12 = 0 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Nós temos um plano π e dentro desse plano temos pontos que interceptam os eixos cartesianos e um ponto que intercepta a origem, e formam juntos um tetraedro:

Vamos começar com o ponto que toca o eixo x , isso significa que y = z = 0 já que o ponto não toca esses eixos e aplicando na função do plano, teremos:

3 x + 2 y - 4 z - 12 = 0  

3 x + 0 - 0 - 1 2 = 0

x = 4

O ponto A pode ser dado por A ( 4 , 0,0 ) .

Passo 2

Agora, podemos calcular o ponto B que toca o eixo y , onde x = z = 0 :

3 x + 2 y - 4 z - 12 = 0  

0 + 2 y - 0 - 1 2 = 0

y = 6

O ponto B   pode ser dado por ( 0 , 6 , 0 )

E por fim, calcularemos o ponto C que toca o eixo z , onde x = y = 0 :

3 x + 2 y - 4 z - 12 = 0  

0 + 0 - 4 z - 1 2 = 0

4 z = - 1 2

z = - 3

O ponto C pode ser dado por ( 0,0 , - 3 ) .

E o último ponto chamaremos de O e é dado por ( 0,0 , 0 ) .

Passo 3

O volume pode ser calculado como o módulo do produto misto de 3 vetores u → , v → e w → tudo isso dividido por 6 (Essa é uma fórmula que temos no livro)

Então, precisamos encontrar três vetores para fazer o produto vetorial misto, encontrar o módulo desse produto vetorial e dividir por seis. Bora lá?

V = u → , v → , w → 6

Uma forma de encontrar três vetores desse problema é usar os segmentos de reta, ou seja, a distância em que cada ponto tem do outro. Pensa assim, temos um tetraedro e com isso temos quatro pontos, qual a distância entre eles?

Vamos pegar a distância entr cada ponto e a origem, chamaremos de vetores O B → ,   O A → e O C → , e pode ser dado por:

O A → = A - O = 4 - 0 , 0,0 = ( 4,0 , 0 )

O B → = B - O = 0 , 6 - 0 , 0 = ( 0,6 , 0 )

O C → = C - O = 0,0 , - 3 - 0 = ( 0,0 , - 3 )

Com esses três vetores, podemos montar o produto vetorial misto entre eles:

4 0 0 0 6 0 0 0 - 3 = 4.6 . - 3 = - 72

V = u → , v → , w → 6 = - 72 6 = 72 6 = 12   u . v

Colocamos a resposta como u . v . que significa unidades de volume.

V = 12   u . a .

Resposta

V = 12   u . a .

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