Seja a reta:

r : x = 3 + t y = 1 - 2 t z = - 1 + 2 t

a) Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano x O y ? E Sobre o plano x O z ?

b) Qual o ângulo que r forma com o plano x O y ?

Passo 1

Quando falamos do plano x O y , estamos dizendo que não estamos em contato com o eixo z e nesse caso z = 0 .

Sabemos pelas equações dadas que :

x = 3 + t

Então:

t = x - 3

Substituindo na equação de y :

y = 1 - 2 ( x - 3 )

y = 1 - 2 x + 6

y = - 2 x + 7

Então, nosso conjunto será dado por:

r p : y = 7 - 2 x z = 0

Passo 2

Da mesma forma quando falamos do plano x O z , estamos dizendo que não estamos em contato com o eixo y e nesse caso y = 0 .

Sabemos pelas equações dadas que :

x = 3 + t

Então:

t = x - 3

Substituindo na equação de z :

y - 1 + 2 ( x - 3 )

y = - 1 + 2 x - 6

y = 2 x - 7

Então, teremos:

r p : y = 0 z = - 7 + 2 x

Passo 3

b) Agora, precisamos calcular o ângulo que r forma com x O y . O ângulo entre a reta e o plano tem fórmula utilizando o vetor diretor e o vetor normal ao plano, vamos usar o vetor normal n → = k → = ( 0,0 , 1 ) . O vetor diretor, pode ser encontrado analisando o conjunto r de equações :

r : x = 3 + t y = 1 - 2 t z = - 1 + 2 t

O vetor diretor é dado pelos coeficientes dos termos que contém t . Então v → = ( 1 , - 2,2 ) .

A fórmula que nos permite calcular o ângulo é dada por:

cos ⁡ φ = n →   .     v → n → v →

Tirando o produto escalar:

n →   .     v → = 0,0 , 1 . 1 , - 2,2 = 2

Os módulos:

k → = 1

v → = 1 2 + - 2 2 + 2 2 = 3

Substituindo na fórmula, teremos:

cos ⁡ φ = n →   .     v → n → v → = 2 3.1

cos ⁡ φ = 2 3

Para encontrar o ângulo, precisaremos eliminar a função cosseno, fazemos isso utilizando a função cosseno inversa chamada de arccos ⁡   :

φ = arccos ⁡ 2 3

Resposta

r p : y = 7 - 2 x z = 0

r p : y = 0 z = - 7 + 2 x

φ = arccos ⁡ 2 3

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