Verifique se as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtenha uma equação geral do plano determinado por elas.

a) r :   x = λ y = - λ z = 1 + 4 λ                               s : x - 1 3 = y - 5 3 = 2 + z 5

Passo 1

Vamos começar escrevendo equações paramétricas para a reta s :

s : x = 1 + 3 μ y = 5 + 3 μ z = - 2 + 5 μ  

Agora vamos igualar os x ' s ,   y ' s e z ' s de r e s ok?

λ = 1 + 3 μ - λ = 5 + 3 μ 1 + 4 λ = - 2 + 5 μ

λ - 3 μ = 1 - λ - 3 μ = 5 4 λ - 5 μ = - 3

Passo 2

Vamos somar as duas primeiras equações, isso nos dá:

- 6 μ = 6

μ = - 1

Substituindo na terceira equação:

4 λ - 5 - 1 = - 3

4 λ + 5 = - 3

4 λ = - 8

λ = - 2

Substituindo esses valores de λ e μ nas 3 equações, a igualdade é verdadeira certo? Então encontramos os valores dos parâmetros para um ponto onde as retas se cruzam :D

Passo 3

Para encontrarmos o ponto onde as retas se cruzam, vamos substituir λ em r ou μ em s .

Substituindo μ em s :

s : x = 1 + 3 - 1 = - 2 y = 5 + 3 - 1 = 2 z = - 2 + 5 - 1 = - 7

Então o ponto onde as retas se cruzam é P = ( - 2 ,   2 ,   - 7 ) :D

Passo 4

Para termos a equação geral do plano determinado pelas retas, temos que encontrar o vetor normal, que é o produto vetorial de seus vetores diretores:

1 ,   - 1 ,   4 ∧ 3 ,   3 ,   5 = ( - 17 ,   7 ,   6 )

Então a equação desse plano é assim:

- 17 x + 7 y + 6 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto P nessa equação, pois sabemos que o plano passa por ela já que ele é o cruzamento das retas (também poderíamos substituir os pontos pertencentes às equações das retas):

- 17 . - 2 + 7 . ( 2 ) + 6 . ( - 7 ) + d = 0

34 + 14 - 42 + d = 0

d = - 6

Então, a equação é

- 17 x + 7 y + 6 z - 6 = 0

Resposta

a) As retas se cruzam em P = ( - 2 ,   2 ,   - 7 )

O plano é dado por - 17 x + 7 y + 6 z - 6 = 0

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