75. Calcular o volume do tetraedro A B C D , sendo dados:

a) A 1,0 , 0 , B 0,1 , 0 , C 0,0 , 1 e D 4,2 , 7

b) A - 1,3 , 2 , B 0,1 , - 1 , C - 2,0 , 1 e D 1 , - 2,0 . Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice A .

Passo 1

(b) Vamos primeiro calcular os vetores, né...

A B → = B - A

A B → = 0,1 , - 1 - - 1,3 , 2

A B → = 1 , - 2 , - 3

A C → = C - A

A C → = ( - 2,0 , 1 ) - - 1,3 , 2

A C → = - 1 , - 3 , - 1

A D → = D - A

A D → = 1 , - 2,0 - - 1,3 , 2

A D → = 2 , - 5 , - 2

Passo 2

Bem.. agora só precisamos fazer o produto misto dos vetores e dividir por 6. O módulo do determinante dividido por 6 vai ser o volume.

V = 1 6 1 - 2 - 3 - 1 - 3 - 1 2 - 5 - 2

V = 1 6 1 - 3 - 2 + - 2 - 1 2 + - 3 - 1 - 5 - 2 - 3 - 3 - - 5 - 1 1 - - 2 - 1 - 2

V = 4

Passo 3

Agora vamos pensar por outro lado... Sabemos que o Volume do tetraedro pode ser calculado como:

V = 1 3 á r e a   d a   b a s e × ( a l t u r a )  

E a área do triângulo podemos calcular como:

á r e a   d a   b a s e = 1 2 det ⁡ B C D

á r e a   d a   b a s e = 1 2 0 1 - 1 - 2 0 1 1 - 2 0

á r e a   d a   b a s e = 1 2 1 1 1 + - 1 - 2 - 2

a r e a   d a   b a s e = 3 2

E como o volume é 4, então:

4 = 3 2 × a l t u r a

Portanto,

a l t u r a = 8 3

Resposta

V = 4

a l t u r a = 8 3

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