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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 75b

75. Calcular o volume do tetraedro A B C D , sendo dados:

a) A 1,0 , 0 , B 0,1 , 0 , C 0,0 , 1 e D 4,2 , 7

b) A - 1,3 , 2 , B 0,1 , - 1 , C - 2,0 , 1 e D 1 , - 2,0 . Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice A .

Passo 1

(b) Vamos primeiro calcular os vetores, né...

A B → = B - A

A B → = 0,1 , - 1 - - 1,3 , 2

A B → = 1 , - 2 , - 3

A C → = C - A

A C → = ( - 2,0 , 1 ) - - 1,3 , 2

A C → = - 1 , - 3 , - 1

A D → = D - A

A D → = 1 , - 2,0 - - 1,3 , 2

A D → = 2 , - 5 , - 2

Passo 2

Bem.. agora só precisamos fazer o produto misto dos vetores e dividir por 6. O módulo do determinante dividido por 6 vai ser o volume.

V = 1 6 1 - 2 - 3 - 1 - 3 - 1 2 - 5 - 2

V = 1 6 1 - 3 - 2 + - 2 - 1 2 + - 3 - 1 - 5 - 2 - 3 - 3 - - 5 - 1 1 - - 2 - 1 - 2

V = 4

Passo 3

Agora vamos pensar por outro lado... Sabemos que o Volume do tetraedro pode ser calculado como:

V = 1 3 á r e a   d a   b a s e × ( a l t u r a )  

E a área do triângulo podemos calcular como:

á r e a   d a   b a s e = 1 2 det ⁡ B C D

á r e a   d a   b a s e = 1 2 0 1 - 1 - 2 0 1 1 - 2 0

á r e a   d a   b a s e = 1 2 1 1 1 + - 1 - 2 - 2

a r e a   d a   b a s e = 3 2

E como o volume é 4, então:

4 = 3 2 × a l t u r a

Portanto,

a l t u r a = 8 3

Resposta

V = 4

a l t u r a = 8 3

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Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(b) Aplique, ao caso em que e 1 → = 1 ,1 ,1 ,e 2 → = 2 ,0 ,1 ,e 3 → = ( 0 ,1 ,0 ) e x → = 4 ,3 ,3 a igualdade do item (a) (as coordenadas refém-se a uma base orto
Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(b) Calcule o volume de um paralelepípedo cujas arestas são paralelas a u → ,v → e w
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (c) E é base⇔ F é base;
As arestas AB, AD e AE do paralelepípedo retângulo mostrado na Figura 12-6(a) medem, respectivamente 1, 2 e 2. R é ponto médio de AB, e a base G H → ,G F → ,G C → é positiva.(a) Calcule D E → ,D R → ,
Dado o tetraedro O A B C , sejam M ,N e P , respectivamente, os pontos que dividem A , B ,( B , C ) e ( C ,A ) na razão 2. Calcule o quociente entre os volumes dos tetraedros O A B C e O M N P .