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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 16b

Seja ( e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) uma base.

(b) Aplique, ao caso em que e 1 → = 1 ,   1 ,   1 ,   e 2 → = 2 ,   0 ,   1 ,   e 3 → = ( 0 ,   1 ,   0 ) e x → = 4 ,   3 ,   3   a igualdade do item (a) (as coordenadas refém-se a uma base ortonormal positiva.

Passo 1

Bora lá!

Para esse exercício, devemos utilizar a igualdade dada no item (a) que é:

x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e 1 → , e 2 → , x → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 3 →

Passo 2

Sendo os vetores e 1 → = 1 ,   1 ,   1 ,   e 2 → = 2 ,   0 ,   1 ,   e 3 → = ( 0 ,   1 ,   0 ) e x → = ( 4 ,   3 ,   3 ) todos dados em relação a uma base ortonormal positiva, temos que os produtos mistos são:

e 1 → , e 2 → , e 3 → = 1 1 1 2 0 1 0 1 0 = 2 - 1 = 1

x → , e 2 → , e 3 → = 4 3 3 2 0 1 0 1 0 = 6 - 4 = 2

e 1 → , x → , e 3 → = 1 1 1 4 3 3 0 1 0 = 4 - 3 = 1

e 1 → , e 2 → , x → = 1 1 1 2 0 1 4 3 3 = 4 + 6 - 3 - 6 = 1

Passo 3

Substituindo os valores encontrados no Passo 2 na igualdade do Passo 1, temos

x → = 2 e 1 → + e 2 → + e 3 →

Portanto, o vetor x → escrito na base e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → é x → = 2 e 1 → + e 2 → + e 3 → .

Resposta

(b) x → = 2 e 1 → + e 2 → + e 3 →

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