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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 17

Dado o tetraedro O A B C , sejam M ,   N e P , respectivamente, os pontos que dividem A , B ,   ( B , C ) e ( C ,   A ) na razão 2. Calcule o quociente entre os volumes dos tetraedros O A B C e O M N P .

Passo 1

Primeiro, um breve resumo do que iremos fazer:

Nesse exercício, nós iremos descobrir o volume do tetraedro maior em função dos vetores A B → ,   A C → ,   A O → . Depois transformaremos todos os vetores que serão usados para calcular o volume do tetraedro menor em função de A B → ,   A C → ,   A O → . No fim será possível descobrir o volume do menor em função dessas três incógnitas e o quociente procurado.

Beleza? Então, mão na massa!

Passo 2

Sabemos que pela fórmula do tetraedro. O volume do tetraedro maior é:

V 1 = 1 6 A B → ,   A C → ,   A O →

E para o tetraedo menor:

V 2 = 1 6 M N → ,   M P → ,   M O →

Passo 3

Usando os dados do enunciado, temos que:

A M → M B → = 2 ⇒ A M → = 2 M B → = 2 A B → - A M → = 2 A B → 3

B N → N C → = 2 ⇒ B N → = 2 N C → = 2 B C → - B N → = 2 B C → 3

C P → P A → = 2 ⇒ C P → = 2 P A → = 2 C A → - C P → = 2 C A → 3

Para deixarmos esses valores em função de A B → ,   A C → ,   A O → , devemos fazer:

A M → = 2 A B → 3

Logo, vetor A M → já está do jeito que a gente queria, vamos escrever os vetores que faltam:

B N → = 2 B C → 3 = 2 A C → - A B → 3 = 2 A C → 3 - 2 A B → 3

C P → = 2 C A → 3 = - 2 A C → 3

Passo 4

Agora, devemos calcular os vetores M N → ,   M P → ,   M O → em função de A B → ,   A C → ,   A O → . Para M N → :

M N → = M B → + B N →

                                                                                = A B → - A M → + 2 A C → 3 - 2 A B → 3

                                                                                      = A B → - 2 A B → 3 + 2 A C → 3 - 2 A B → 3

                    = 2 A C → 3 - A B → 3

Para M P → :

M P → = M A → + A P →

                                                            = - 2 A B → 3 - C A → - C P →

                                                                            = - 2 A B → 3 - - A C → + 2 A C → 3

                        = A C → 3 - 2 A B → 3

Já para M O → :

M O → = M A → + A O →

                              = - 2 A B → 3 + A O →

Passo 5

Utilizando as propriedades da trilinearidade do produto misto a de que quando dois vetores iguais estão no produto seu valor é nulo. Portanto, o volume do tetraedro menor é:

V 2 = 1 6 M N → , M P → , M O →

V 2 = 1 6 2 A C → 3 - A B → 3 , A C → 3 - 2 A B → 3 , - 2 A B → 3 + A O →

V 2 = 1 6 2 A C → 3 , - 2 A B → 3 , A O → + - A B → 3 , A C → 3 , A O →

V 2 = 1 6 4 9 A B → ,   A C → ,   A O → - 1 3 A B → ,   A C → ,   A O →

V 2 = 1 18 A B → ,   A C → ,   A O →

Passo 6

Logo, a razão procurada, que nós vamos chamar de k é:

k = V 1 V 2 = 1 6 A B → ,   A C → ,   A O → 1 18 A B → ,   A C → ,   A O → = 3

Resposta

A razão entre os volumes dos tetraedros O A B C e O M N P é 3.

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