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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 19c

Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que

(c) E é base <=> F é base;

Passo 1

Bora lá!

Vamos começar indo direto ao ponto.

Se a tripla de vetores E = (vec u , vec v , vec w) é base, podemos afirmar que:

[vec u , vec v , vec w] != 0

Concordam comigo?

Logo, para que a tripla de vetores F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) seja L.D., devemos ter:

[vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u] != 0

Notem, que é a mesma ideia da letra (b). A diferença aqui é que ao invés de igual a zero, agora estamos usando diferente de zero 😉.

Passo 2

Vamos usar a definição de produto misto e a fórmula do duplo produto vetorial.

Começando pela definição de produto misto, temos:

[vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u] = (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u) ( 1 )

Já pela fórmula do duplo produto vetorial:

((vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w)) = - (vec v . vec v ^^ vec w) . vec u + (vec u . vec v ^^ vec w) . vec v

= - 0 . vec u + (vec u ^^ vec v . vec w) . vec v

= [ vec u , vec v , vec w ] . vec v ( 2 )

Passo 3

Substituindo (2) em (1), temos:

[vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u] = (vec u ^^ vec v) ^^ (vec v ^^ vec w) . (vec w ^^ vec u)

= ([vec u , vec v , vec w] . vec v) . (vec w ^^ vec u)

= [vec u , vec v , vec w] . ( vec v . vec w ^^ vec u )

= [vec u , vec v , vec w] . (vec u . vec v ^^ vec w)

= [vec u , vec v , vec w] . ( vec u ^^ vec v . vec w )

= [vec u , vec v , vec w] . [vec u , vec v , vec w]

= [vec u , vec v , vec w]^2

!= (0)^2

!= 0

Portanto, se tivermos uma tripla de vetores E = ( vec u , vec v , vec w ) base, podemos afirmar que a tripla de vetores F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) também é base. Logo E é base <=> F é base 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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