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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 13b

(b) Calcule a mediana angular entre vec D E ^^ vec D R e vec D F .

Passo 1

Bora lá!

Para calcularmos o ângulo desejado, devemos descobrir cada um dos vetores em relação a uma base ortonormal positiva. Com posse deles, é possível calcular o ângulo em questão. A base positiva dada é E = (vec G H , vec G F , vec G C) . Para obtermos a base ortonormal, precisamos do módulo desses vetores.

Sabemos que:

|vec A B| = 1 ; |vec A D| = 2 ; |vec A E| = 2

Assim, por uma relação de indentidade, temos:

|vec G H| = 1 ; |vec G F| = 2 ; |vec G C| = 2

Passo 2

Seja F = ( vec p , vec q , vec r ) a nossa base ortonormal positiva. Para obtermos F a partir do passo anterior, fazemos:

vec p = (vec G H)/(|vec G H|) = vec G H

vec q = (vec G F)/(|vec G F|) = vec (G F)/(2)

vec r = (vec G C)/(|vec G C|) = vec (G C)/(2)

Passo 3

Agora, nós precisamos escrever os vetores vec D E , vec D R e vec D F em relação a base ortonormal positiva F = (vec p , vec q , vec r) . Fazendo isso, temos:

vec D E = vec G F - vec G C = 2 . (vec G F)/(2) - 2 . (vec G C)/(2) = 2 vec q - 2 vec r = (0 , 2 , - 2)_F

vec D R = - (1)/(2) vec G H + vec G F = - (1)/(2) vec G H + 2 . (vec G F)/(2) = - (1)/(2) vec q + 2 vec q = (- (1)/(2) , 2 , 0)_F

vec D F = - vec G H + vec G F - vec G C = - vec G H + 2 . (vec G F)/(2) - 2 . (vec G C)/(2) = - vec p + 2 vec q - 2 vec r = (- 1 , 2 , - 2)_F

Passo 4

Pela fórmula do produto escalar, temos que:

[vec D E , vec D R , vec D F] = |vec D E ^^ vec D R| |vec D F| cos theta

theta = arccos (([vec D E , vec D R , vec D F])/(| vec D E ^^ vec D R | . | vec D F |))

Passo 5

Para calcularmos o produto misto de vec D E , vec D R e vec D F , fazemos:

[vec D E , vec D R , vec D F] = |[[0,2,-,2],[-,(1)/(2),2,0],[-,1,2,-,2]]| = 2 - 4 - 2 = - 4

Passo 6

Calculando o módulo do produto vetorial de vec D E e vec D R :

vec D E ^^ vec D R = |[[vec p,vec q,vec r],[0,2,-,2],[-,(1)/(2),2,0]]| = (4 , 1 , 1)_F

|vec D E ^^ vec D R| = sqrt(4^2 + 1^2 + 1^2) = 3 sqrt(2)

Já para o módulo de vec D F , temos:

vec D F = (- 1 , 2 , 2)_F

|vec D F| = sqrt((- 1)^2 + 2^2 + 2^2) = 3

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula de theta , temos:

theta = arccos (([vec D E , vec D R , vec D F])/(| vec D E ^^ vec D R | . | vec D F |)) = arccos (- (4)/(3.3 sqrt(2))) = arccos (- (4)/(9 sqrt(2)))

Resposta

(b) theta = arccos (- (4)/(9 sqrt(2)))

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