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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 14b

A pirâmide mostrada na Figura 12-6 (b) tem por base um quadrado de lado 2. As arestas que contêm o vértice V formam ângulos de 45 ° com o plano do quadrado, e a base V A → ,   V D → ,   V B → é postiva.

(b) Determine as coordenadas de D C → ∧ D A → em relação a V A → ,   V D → ,   V B → .

Passo 1

Bora lá!

Para esse exercício nós iremos usar um sistema de coordenadas x , y , z ortogonal positivo, tendo origem no ponto O . O eixo x é paralelo à aresta A B → com sentido para direita, o eixo y é paralelo à aresta A D → e o eixo z é paralelo à altura do tetraedro.

Passo 2

Para calcularmos a atura do nosso tetraedro, tem que o ângulo A O ^ V = 90 ° e O A ^ V = 45 ° .

Portanto:

t g 45 ° = 1

O A - O V - = 1 ⇒ O V - = O A - = l 2 2 = 2 2 2 = 2

Passo 3

Agora, vamos escrever todos os vértices do tetraedro em relação ao sistema de coordenadas adotado:

O = 0 ,   0 ,   0

A = - 1 ,   - 1 ,   0

B = ( 1 ,   - 1 ,   0 )

C = ( 1 ,   1 ,   0 )

D = ( - 1 ,   1 ,   0 )

V = ( 0 ,   0 ,   2 )

Até aqui é o mesmo passo a passo da letra (a), certo?

Passo 4

Vamos relembrar o que nós queremos?

Queremos calcular o produto misto de D C → ∧ D A → em relação a F = V A → ,   V D → ,   V B → . Os vetores necessários escritos em relação a uma base ortonormal positiva E = i → ,   j → ,   k → são:

D C → = C - D = 1 ,   1 ,   0 - - 1 ,   1 ,   0 = 2 ,   0 ,   0

D A → = A - D = - 1 ,   - 1 ,   0 - - 1 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   - 2 ,   0 )

V A → = A - V = - 1 ,   - 1 ,   0 - 0 ,   0 , 2   = - 1 ,   - 1 ,   - 2

V D → = D - V = - 1 ,   1 ,   0 - 0 ,   0 ,   2 = - 1 ,   1 ,   - 2

V B → = B - V = 1 ,   - 1 ,   0 - 0 ,   0 ,   2 = 1 ,   - 1 ,   - 2

Passo 5

O produto vetorial procurado em relação a base ortonormal positiva é:

D C → ∧ D A → = i → j → k → 2 0 0 0 - 2 0 = - 4 k →

Utilizado o vetor encontrado, nós precisamos escrevê-lo em relação à base F = V A → ,   V D → ,   V B → . Portanto:

- 4 k → = α V A → + β V D → + γ V B →

- 4 k → = α - i → - j → - 2 k → + β - i → + j → - 2 k → + γ i → - j → - 2 k →

- 4 k → = i → - α - β + γ + j → - α + β - γ + k → - 2 α - 2 β - 2 γ

Passo 6

Da igualdade anterior, podemos montar nosso seguinte sistema de equações:

- α - β + γ = 0                                             - α + β - γ = 0                                             - 2 α - 2 β - 2 γ = - 4

Resolvendo esse sisteminha, obtemos:

α = 0 ;   β = γ = 2

Passo 7

Por fim, reescrevendo o vetor D C → ∧ D A → em relação à base F = V A → ,   V D → ,   V B → , temos:

D C → ∧ D A → = α V A → + β V D → + γ V B → = 0 V A → + 2 V D → + 2 V B → = 0 ,   2 ,   2 F

ACABAMOS!!!

Resposta

(b) D C → ∧ D A → = 0 ,   2 ,   2 F .

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Mostre quea) α U 1 + β U 2 ⋅ V × W = α U 1 ⋅ V × W + β U 2 ⋅ ( V × W ) ;
Mostre qued) U ⋅ V × W = U ⋅ V + α U + β W × W .
Mostre queb) U ⋅ α V 1 + β V 2 × W = α U ⋅ V 1 × W + β U ⋅ V 2 × W ;
Mostre quec) U ⋅ V × α W 1 + β W 2 = α U ⋅ V × W 1 + β U ⋅ V × W 2 ;
Se U ,VeW são vetores no espaço, prove que U ⋅ V × W ≤ U V W . (Sugestão: use o Teorema 3.2 na página 172 e o exercício anterior)