Sejam A B → = 1 , - 1,1 ,   A C → = - 1,3 , - 2   e   A D → = ( 2,1 , 0 ) . Pedem-se:

  1. A área do triângulo ABC e sua altura relativa ao vértice A;
  2. O volume do tetraedro ABCD e a distância do ponto D ao plano determinado por A, B e C.

Passo 1

E aí pessoal, beleza?

No item a), para achar a área do triângulo precisamos:

Á r e a = 1 2 | A B → ^ A C → |

Vamos achar primeiro A B → ^ A C → :

A B → ^ A C → = i → j → k → 1 - 1 1 - 1 3 2 = - 5 i → - 3 j → + 2 k →

Agora, calcularemos o módulo:

A B → ^ A C → = - 5 2 + - 3 2 + 2 2 = 38

Então:

Á r e a = 1 2 A B → ^ A C → = 38 2

Passo 2

Agora só falta a altura relativa ao vértice A, como a área do triângulo pode ser calculada pela metade da multiplicação da base pela altura, temos:

A H → = 2 Á r e a B C →

B C → = A C → - A B → = - 2,4 , 1

B C → = - 2 2 + 4 2 + 1 2 = 21

A H → = 2 ⋅ 38 2 21 = 38 21

Passo 3

Agora para o item b) precisamos do volume do tetraedro ABCD e a distância do ponto D ao plano determinado por A, B e C, que nada mais é que a altura do tetraedro, então:

V o l u m e = 1 6 | A B → , A C → , A D → |

A B → , A C → , A D → = A B → ^ A C → A D → c o s α

Em que o cosseno é dado por:

cos ⁡ α =   ( A B → ^ A C → ) ( A D → ) A B → ^ A C → | A D → |  

A B → ^ A C → A D → = - 10 - 3 = - 13

cos ⁡ α =   ( A B → ^ A C → ) ( A D → ) A B → ^ A C → | A D → | = - 13 38   5

Assim:

A B → , A C → , A D → = A B → ^ A C → A D → c o s α = 38   5 - 13 38   5 = - 13

V o l u m e = 1 6 - 13 = 13 6

Daí a altura do tetraedro é dada por:

A l t u r a = 6 ⋅ V o l u m e Á r e a = 6 ⋅ 13 6 38 = 13 38

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

a)

38 2 e 38 21

b) 13 6 e 13 38

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