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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 4

Sejam A B → = 1 , - 1,1 ,   A C → = - 1,3 , - 2   e   A D → = ( 2,1 , 0 ) . Pedem-se:

  1. A área do triângulo ABC e sua altura relativa ao vértice A;
  2. O volume do tetraedro ABCD e a distância do ponto D ao plano determinado por A, B e C.

Passo 1

E aí pessoal, beleza?

No item a), para achar a área do triângulo precisamos:

Á r e a = 1 2 | A B → ^ A C → |

Vamos achar primeiro A B → ^ A C → :

A B → ^ A C → = i → j → k → 1 - 1 1 - 1 3 2 = - 5 i → - 3 j → + 2 k →

Agora, calcularemos o módulo:

A B → ^ A C → = - 5 2 + - 3 2 + 2 2 = 38

Então:

Á r e a = 1 2 A B → ^ A C → = 38 2

Passo 2

Agora só falta a altura relativa ao vértice A, como a área do triângulo pode ser calculada pela metade da multiplicação da base pela altura, temos:

A H → = 2 Á r e a B C →

B C → = A C → - A B → = - 2,4 , 1

B C → = - 2 2 + 4 2 + 1 2 = 21

A H → = 2 ⋅ 38 2 21 = 38 21

Passo 3

Agora para o item b) precisamos do volume do tetraedro ABCD e a distância do ponto D ao plano determinado por A, B e C, que nada mais é que a altura do tetraedro, então:

V o l u m e = 1 6 | A B → , A C → , A D → |

A B → , A C → , A D → = A B → ^ A C → A D → c o s α

Em que o cosseno é dado por:

cos ⁡ α =   ( A B → ^ A C → ) ( A D → ) A B → ^ A C → | A D → |  

A B → ^ A C → A D → = - 10 - 3 = - 13

cos ⁡ α =   ( A B → ^ A C → ) ( A D → ) A B → ^ A C → | A D → | = - 13 38   5

Assim:

A B → , A C → , A D → = A B → ^ A C → A D → c o s α = 38   5 - 13 38   5 = - 13

V o l u m e = 1 6 - 13 = 13 6

Daí a altura do tetraedro é dada por:

A l t u r a = 6 ⋅ V o l u m e Á r e a = 6 ⋅ 13 6 38 = 13 38

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

a)

38 2 e 38 21

b) 13 6 e 13 38

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A pirâmide mostrada na Figura 12-6 (b) tem por base um quadrado de lado 2. As arestas que contêm o vértice V formam ângulos de 45 ° com o plano do quadrado, e a base V A → ,V D → ,V B → é postiva.(a)
A pirâmide mostrada na Figura 12-6 (b) tem por base um quadrado de lado 2. As arestas que contêm o vértice V formam ângulos de 45 ° com o plano do quadrado, e a base V A → ,V D → ,V B → é postiva.(b)
Dados os vetores vec a = (1 , - 1 , 2) , vec b = ( 3 , 4 , - 2 ) e vec c = ( - 5 , 1 , - 4 ) , mostrar que vec a . (vec b xx vec c) = (vec a xx vec b) . vec c .
70. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:a) a = 2 , - 1 , k ,b = 1,0 , 2 e c = k , 3 , k b) a = 2,1 , 0 ,b = 1,1 , - 3 e c = k , 1 , - k c) a = 2 , k , 1 ,b = 1,2 , k
67. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:a) u = 3 , - 1,2 , v = 1,2 , 1 e w = - 2,3 , 4 b) u = 2 , - 1,0 , v = 3,1 , 2 e w = 7 , - 1,2