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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 23

Calcule o produto misto u * (v xx w) .

u = (a , 0 , 0) , v = (0 , b , 0) , w = ( 0 , 0 , c )

Passo 1

Nessa questão, vamos usar parte do Teoream 3.5.5 que diz que o produto misto é igual ao determinante da matriz formada pelos três vetores

u * (v xx w) = |[[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]|

Passo 2

Vamos calcular então o determinante da matriz |[[u_1,u_2,u_3],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]| = |[[a,0,0],[0,b,0],[0,0,c]]|

|[[a,0,0],[0,b,0],[0,0,c]]|

a |[[b,0],[0,c]]| - 0 |[[0,0],[0,c]]| + 0 |[[0,b],[0,0]]|

a ((b c) - (0)) - 0 (0 - 0) + 0 (0 - 0)

a b c - 0 + 0

a b c

Passo 3

Como u * (v xx w) = |[[a,0,0],[0,b,0],[0,0,c]]| , temos que

u * (v xx w) = a b c

Resposta

u * (v xx w) = a b c

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(b) Sejam B 1 a base ortonormalizada de E pelo Processo de Gram-Schmidt e B 2 = ( i → , j → , k → ) , a base ortonormalizada de E pelo processo alternativo descrito na Observação 11-9. Prove que B 1 =
Sejam B = ( i → , j → , k → ) uma base ortonormal positiva e * uma operação interna em V 3 que satisfaz as propriedades u → * v → + w → = u → * v → + u → * w → u → + v → * w → = u → * w → + v → * w →
Resolva os sistemas:(a) {[[vec x ^^ (vec i - vec k) = vec j],[vec x + vec y = vec i + vec j]])
Resolva os sistemas:(b) {[[vec x . (2 vec i + 3 vec j + 4 vec k) = 9],[vec x ^^ (- vec i + vec j - vec k) = - 2 vec i + 2 vec k]])