Resolva os sistemas:

(a) {[[vec x ^^ (vec i - vec k) = vec j],[vec x + vec y = vec i + vec j]])

Passo 1

Diferente das letras anteriores. Neste exercício, há a adição de mais um vetor no sistema, o vetor vec y , assim, seja vec x ≔ ( x_1 , x_2 , x_3 ) e vec y ≔ ( y_1 , y_2 , y_3 ) .. Ao desenvolvermos a primeira equação, temos:

vec x ^^ (vec i - vec k) = vec j => - x_2 vec i + (x_1 + x_3) vec j - x_2 vec k = vec j => {[[x_2 = 0],[x_1 + x_3 = 1]])

Passo 2

Já a segunda equação nos fornece que:

vec x + vec y = vec i + vec j => {[[x_1 + y_1 = 1],[x_2 + y_2 = 1],[x_3 + y_3 = 1]])

Ou seja, o sistema original é equivalente ao sistema

{[[x_1 + y_1 = 1],[x_1 + x_3 = 1],[x_3 + y_3 = 1],[y_2 = 1],[x_2 = 0]])

Agora, basta resolvermos esse sisteminha simples.

Passo 3

Resolvendo, sabemos da segunda equação que x_3 = 1 - x_1 , substituindo na terceira equação, temos:

1 - x_1 + y_3 = 0 => y_3 = x_1 - 1

Dessa forma, conseguiremos escrever todas em incógnitas que faltavam em relação a x_1 .

Resposta

Ou seja, as soluções do nosso sistema são da seguinte forma, onde x_1 varia em R :

{[[x_2 = 0],[x_3 = 1 - x_1],[y_1 = 1 - x_1],[y_2 = 1],[y_3 = x_1 - 1]])

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