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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 12.4 - Ex. 6

Num circuito L C , seja um indutor de indutância L ligado em série com um capacitor de capacitância C . Seja i a corrente que circula no circuito e q a carga no capacitor. Suponhamos, inicialmente, que a corrente no circuito seja i 0 e o capacitor tenha uma carga q 0 . Sabendo que a diferença de potencial no indutor é L d i d t e no capacitor é q C , temos o sistema de equações diferenciais

L d i d t + q C = 0 d q d t = i

Encontre as expressões da carga e da corrente em função do tempo.

Passo 1

Pô, questão de física em álgebra linear é maldade! Mas bora lá que é só resolver essa parada aí, independente da física do negócio. Nosso trabalho é só com as continhas. Arrumando o sistema:

d i d t = - q L C d q d t = i

Passando pra forma matricial:

d i d t d q d t = 0 - 1 L C 1 0 i q

Passo 2

Agora vamos calcular os autovalores e autovetores dessa parada aí!

det ⁡ 0 - 1 L C 1 0 - λ I = 0

- λ - 1 L C 1 - λ = 0

Desenvolvendo,

λ 2 + 1 L C = 0

Daqui,

λ = ± 1 - L C

Beleza, vamos substituir e encontrar os autovetores. Primeiro para λ = 1 - L C :

λ = 1 - L C : - 1 - L C - 1 L C 1 - 1 - L C i q = 0 0

- 1 - L C i - 1 L C q = 0 i - 1 - L C q = 0

Das duas equações vamos encontrar:

i = 1 - L C q

E aí o autovetor vai ser:

v = 1 - L C 1

Agora pro outro autovalor:

λ = - 1 - L C : + 1 - L C - 1 L C 1 + 1 - L C i q = 0 0

+ 1 - L C i - 1 L C q = 0 i + 1 - L C q = 0

Das duas equações vamos encontrar:

i = - 1 - L C q

E aí o autovetor vai ser:

v = - 1 - L C 1

Passo 3

Beleza! Então a nossa solução vai ser da forma:

i q = c 1 1 - L C 1 e 1 - L C t + c 2 - 1 - L C 1 e - 1 - L C t

i t = c 1 - L C e 1 - L C t - c 2 - L C e - 1 - L C t

q t = c 1 e 1 - L C t + c 2 e - 1 - L C t

Como sabemos, q 0 = q 0 e i 0 = i 0 . Vamos substituir isso!

i 0 = c 1 - L C - c 2 - L C = i 0

q 0 = c 1 + c 2 = q 0

Resolvendo esse sistema:

c 1 - c 2 = i 0 - L C c 1 + c 2 = q 0

E aí,

c 1 = q o + i 0 - L C 2

c 2 = q 0 - i 0 - L C 2

Então nossa solução vai ser:

i t = q o + i 0 - L C 2 - L C e 1 - L C t - q o - i 0 - L C 2 - L C e - 1 - L C t

q t = q o + i 0 - L C 2 e 1 - L C t + q o - i 0 - L C 2 e - 1 - L C t

Resposta

i t = q o + i 0 - L C 2 - L C e 1 - L C t - q o - i 0 - L C 2 - L C e - 1 - L C t

q t = q o + i 0 - L C 2 e 1 - L C t + q o - i 0 - L C 2 e - 1 - L C t

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