Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 18
Prove que: Uma matriz , com ordem , tem posto se, e somente se é inversível.
Passo 1
Observe que essa afirmação é do tipo se e somente se, isto é, ela possui uma “ida” e uma “volta”. Para prova-la, logicamente, devemos provar ambas as afirmações. Então vamos lá.
Passo 2
“Ida”: Se uma matriz tem ordem e posto , então ela é inversível.
Essa é fácil, pois a matriz escalonada é obtida por operações simples sobre linhas de , obtendo-se, no fim, uma matriz triangular superior. Isso é bom pois o determinante de uma matriz não se altera após operações simples sobre linhas.
Seja a matriz escalonada de .
Se o posto da matriz A é e sua ordem é , então não existe linha nula na sua equivalente escalonada, isto é, desde o até o , todos são não nulos.
Como a matriz é triangular superior, temos que:
Assim, concluímos que é inversível.
Passo 3
“Volta”: Se uma matriz é inversível e tem ordem , seu posto é .
Podemos usar, novamente, o fato de que a matriz escalonada é triangular superior. Seja a matriz escalonada obtida de . Temos a seguinte relação:
Mas é triangular superior, do que temos que o seu determinante é calculado por:
Ou seja, nenhum dos elementos da diagonal principal da matriz escalonada pode ser nulo, isto é, não há linha nula na matriz escalonada. Portanto, seu posto é .
Resposta
Demonstração.